三角形の面積は，ヘロンの公式

　　Ｓ＝（ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ））^1/2，

　　ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２

で求めることができる．

　４辺の長さを与えてもその形は決まらないので，そのような公式は期待できないが，四角形が円に内接するとき，面積は最大値をとり，ブラーマグプタの公式

　　Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ））^1/2，

　　ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／２

が成り立つ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ］５辺の長さがＡＢ＝３，ＢＣ＝３，ＣＤ＝２，ＤＥ＝２，ＥＡ＝２である五角形の面積の最大値を求めよ．

［Ａ］ＡＣ＝ｘ，ＣＥ＝ｙ，∠ＡＢＣ＝γ，∠ＣＤＥ＝δとおく．余弦定理より

　　ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2−２ＡＢ・ＢＣｃｏｓγ

　　ＡＣ^2＝ＣＥ^2＋ＥＡ^2−２ＣＥ・ＥＡｃｏｓ（π−γ）＝ＣＥ^2＋ＥＡ^2＋２ＣＥ・ＥＡｃｏｓγ

→ｘ^2＝１８（１−ｃｏｓγ），ｘ^2＝ｙ^2＋４＋４ｙｃｏｓγ

　同様に，

→ｙ^2＝８（１−ｃｏｓδ），ｙ^2＝ｃ^2＋４＋４ｘｃｏｓδ

→ｃｏｓγ＝（１４−ｙ^2）／２（２ｙ＋９），ｃｏｓδ＝（２−ｘ）／４

→ｙ＝７／２，ｘ＝３３／８

　あとは，ヘロンの公式Ｓ＝（ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ））^1/2，また，四角形が円に内接するとき，面積は最大値をとり，ブラーマグプタの公式Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ））^1/2　　（ｄ＝０のときヘロンの公式になる）を利用すると，

　　Ｓ＝５／２・√１５

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ］円に内接する五角形や六角形についても同様の公式はあるのだろうか？

［Ａ］存在しないことの証明が

　　［参］のんびり数学研究会「ガロアに出会う」数学書房

に掲載されているという．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝