■素因数分解の達人

  Fn=2^(2^n)+1

の形の素数をフェルマー素数といいます.F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537257は素数であることがわかります.

 3,5,17が素数であることは明らかですが,たとえば,257については√257=16.03・・・ですから,これより小さい素数2,3,5,7,13が257を割らないことを確かめればよいことになりますし,65537257については,√65537257=256.0・・・ですから,今度は2,3,5,・・・,233,239,241,251と55個の素数で65537257を割らないことを確かめます.

===================================

【1】オイラーとフェルマー素数

 フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが,n=5であっけなく破綻してしまいました.

  F5=2^(2^5)+1=2^32+1

=4294967297=641×6700417

 この間違いを発見したのはフェルマーから約100年後のオイラーです.彼は約数641をあてずっぽうでみつけたのでも,2,3,5,7,・・・と割っていって執念で見つけたのでもありません.オイラーはFnが合成数であるならば,それはあるkに対してk2^(n+2)+1であることを知っていて,F5の中の因数641=5・2^7+1を見つけたのです(1732年).

 ベネットは,実際に割り算することなしにこのことを確認しています.すなわち,

  641=5^4+2^4=5・2^7+1

  2^28(5^4+2^4)/641=2^28 (余り0)

  ((5・2^7)^4−1)/641=(5・2^7−1)((5・2^7)^2+1) (余り0)

したがって,2^28(5^4+2^4)−((5・2^7)^4−1)=2^32+1も641で割り切れる.

===================================

【2】ランドリーとフェルマー素数

 1880年,ランドリーは(82才という高齢にもかかわらず)20桁の

  F6=2^64+1=274177×67280421310721

となることを示しました.

 次のフェルマー数F7=2^128+1は39桁の数ですが,1975年にブリルハートとモリソンがコンピュータを使って,フェルマー数

  F7=59649589127497217×5704689200685129054721,

を発見しましたから,まさにランドリーは素因数分解の達人(根気と労力,忍耐と勇気)ということになります.

  F6=2^64+1=274177×67280421310721

を因数分解したランドリーは

  2^58+1=5×107367629×536903681

も発表しています.

 その数年後,オーリフゥイユは

  536903681−5×107367629=2^16

に着目して

  2^58+1=(2^29−2^15+1)(2^29+2^15+1)

であることを発見しました.

 また,リュカはこれを一般化して

  2^4n+2+1=(2^2n+1−2^n+1+1)(2^2n+1+2^n+1+1)

  4x^4+1=(2x^2−2x+1)(2x^2+2x+1),x=2^n

すなわち,

  2^58+1=(2^29−2^15+1)(2^29+2^15+1)

はx=2^14のときの特別なケースであることを発見しました.

===================================