合同な菱形３０枚からなる菱形３０面体は正１２面体と正２０面体のあいのこ多面体です．長い対角線を結ぶと正２０面体，短い対角線を結ぶと正１２面体ができます．どちらも同じ対称性（正２０面体群）をもっています．
コラム「菱形３０面体の木工製作」において，中川宏さんがもう一つの菱形３０面体の木工製作法を考え出されたことを紹介しました．これまでは菱形三十面体を正２０面体経由で作っていたのですが，立方体から直接木工製作する方法です．
５回対称性を有する多面体として，サッカーボール（切頂２０面体）があげられます．正２０面体では１つの頂点に５枚の正三角形が集まっていますが，正三角形のどの辺も３等分しそれらの点を結ぶと２０枚の正六角形と１２枚の正五角形が現れます．これが切頂２０面体です．
また，セパタクロー（東南アジアのスポーツで足を使うバレーボール）の蹴鞠は１２・２０面体です．これは正２０面体を辺の中点で切ってできる多面体で，菱形３０面体の双対になっています．
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【１】正２０面体群に属する多面体
正２０面体，正１２面体と同じ対称性を有する多面体は多数ある．たとえば，切頂によって
正１２面体←→切頂１２面体←→１２・２０面体←→切頂２０面体←→正２０面体
のような切頂型の準多面体系列ができる．さらにこれらに対して切稜を加えると大菱形１２・２０面体［４，６，１０］や小菱形１２・２０面体［３，４，５，４］のような切頂・切稜型準正多面体となる．
これらは正多角形を面とするシンプルな準正多面体であるが，正２０面体の切頂比を変えていろいろ変形させてみよう．正二十面体のある頂点から隣接する頂点までの距離の約２４％
(7-√5-2√(10+2√5)/3))/(6-2√5)＝0.242947
のところを五角錐状に切り落とすと，正五角形面１２枚と不等辺六角形面２０枚の合計３２枚の面で構成される外接球・内接球を併せもつ多面体になる．
サッカーボール（切頂２０面体）は３３．３％切頂であるから，この多面体はサッカーボールと正二十面体の間，
正１２面体←→切頂１２面体←→１２・２０面体←→切頂２０面体←→★←→正２０面体
に位置すること，また，サッカーボールでは正五角形面の方が正六角形面よりも低いことがわかるのである．→コラム「色即是空・空即是色」参照
正２０面体を切頂して不等辺六角形の２種類の辺の長さの比が黄金比になるようにするには，切頂比を
１／（２＋τ）＝0.276393
あるいは
１／（２＋１／τ）＝0.381966
にすればよい．
［参］平賀賢二「準結晶の不思議な構造」アグネ技術センター
ｐ２１には後者の図が描かれているが，後者では前者に較べて正五角形面が大きくなる．
また，同ページには小菱形１２・２０面体［３，４，５，４］の変形である多面体も掲載されている．これは正２０面体の切頂・切稜多面体であって，切稜２０面体の頂点を五角錐状に切り落としたものである．その際，長方形面が黄金長方形になるようにするには，切稜比を
１／（３＋τ）＝0.216542
か
１／（３＋１／τ）＝0.276393
にすればよい．「準結晶の不思議な構造」に描かれている図は前者である．これらの計算方法についてはコラム「正多面体の木工製作（その５）」を参照されたい．
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【２】正２０面体群に属する多面体の木工製作
(1)切稜比１／（３＋τ）＝0.216542の正２０面体の切頂・切稜多面体
(2)切頂比１／（２＋１／τ）＝0.381966の正２０面体の切頂多面体
では，もとの立方体の１辺の長さを２とすると
正２０面体の正三角形の面間距離：１．８６８３４
(1)の長方形の面間距離：１．８３４５８
(1)の正五角形の面間距離：１．７８８２７
(2)の歪六角形の面間距離：１．８５４７１
と計算された．
以下に，中川宏さん製作の木工模型を掲げる（左(1)，右(2)）．
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１２・２０面体の双対を考えると菱形三十面体が現れる．
正１２面体←→切頂１２面体←→１２・２０面体←→切頂２０面体←→正２０面体
↑↓
菱形三十面体
対角線の長さの比が黄金比の菱形が黄金菱形である．その頂角は約６３．４°であって，一見正三角形を２つ貼り合わせ形と見間違うほどよく似ている．そして黄金菱形６枚からできる平行六面体が黄金菱形六面体である．黄金菱形六面体には鋭角型と鈍角型があり，それぞれ１０個ずつ組み合わせる菱形三十面体，鋭角型のみ２０個を組み合わせると花形十二面体ができあがる．
菱形三十面体は凸多面体，花形十二面体は凹多面体でそのへこみには菱形三十面体がすっぽりおさまる．Mathematica V2,V3のロゴとして双曲空間における正１２面体が使われているが，花形十二面体はそれにそっくりである．花形十二面体は小川泰先生がペンローズ格子（３次元版）について研究中に見つけられて命名された多面体とのことでまさしく「黄金の華」である．
菱形三十面体を切頂した多面体も正二十面体群の対称性を有している．たとえば正１２０胞体は４次元空間における正十二面体対応物であるが，菱形三十面体の５価の頂点を切頂比
１／（１＋τ）＝１／τ^2＝0.381966
で切頂すると，正１２０胞体を３次元空間に投影した模型となる．→コラム「４次元正１２０胞体の３次元投影（その１）」参照
また，切頂菱形三十面体が外接球をもつための条件は，切頂比
１／√５＝0.447214
それに対して，内接球をもつための条件は，切頂比
４／（１０＋２√５）^(1/2)＋２）＝0.919299
であることはコラム「４次元正１２０胞体の３次元投影（その２）」で述べたとおりである．このことから，正１２０胞体の３次元投影模型は球には外接・内接せず，正五角形面の方が不等辺六角形面よりも高いことがおわかり頂けるであろう．
これらの他に，花形１２面体の出っ張ったところを切ることによってできる凹多面体や４種類の星形正多面体（凹多面体）なども正２０面体と同じ対称性を有する多面体である．
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