■単純リー環を使った面数数え上げ(その143)

【1】4次元の場合

  P0P1=1

  P0P2=cosec(π/p)=1/sin(π/p)

  P1P2=cot(π/p)

  P0P3=sin(π/q)/sin(π/hpq)

  P1P3=cos(π/p)/sin(π/hpq)

  P2P3=cos(π/q)cot(π/p)/sin(π/hpq)

  Δ^2=sin^2(π/p)sin^2(π/r)−cos^2(π/q)

  P0P4=sin(π/hrq)/Δ

  P1P4=cos(π/p)sin(π/r)/Δ

  P2P4=cot(π/p)cos(π/q)/Δ

  P3P4=cos(π/p)cos(π/q)cos(π/r)/sin(π/hpq)Δ

  正120胞体{p,q,r}={5,3,3}

  正600胞体{p,q,r}={3,3,5}

  正24胞体{p,q,r}={3,4,3}

  hpq=24/(10−p−q)−2  (スタインバーグの公式)

  hrq=24/(10−r−q)−2  (スタインバーグの公式)

ですから,

  正120胞体:Hpq=10,Hrq=4

  正600胞体:Hpq=4,Hrq=10

  正24胞体:Hpq=6,Hrq=6

となります.

  Δ^2=sin^2(π/p)sin^2(π/r)−cos^2(π/q)

  正120胞体:Δ=(3−√5)/8

  正600胞体:Δ=(3−√5)/8

  正24胞体:Δ=1/4

  P0(0,0,0,0)

  P1(1,0,0,0)

  P2(1,P1P2,0,0)

  P3(1,P1P2,P2P3,0)

  P4(1,P1P2,P2P3,P3P4)

  P0(0,0,0,0)

  P1(1,0,0,0)

  P2(1,cot(π/p),0,0)

  P3(1,cot(π/p),cot(π/p)cos(π/q)/sin(π/hpq),0)

  P4(1,cot(π/p),cot(π/p)cos(π/q)/sin(π/h),cos(π/p)cos(π/q)cos(π/r)/sin(π/hpq)Δ)

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【2】正600胞体の場合

  p=3,q=3,r=5,hpq=4,Δ=(3−√5)/8

  P0(0,0,0,0)

  P1(1,0,0,0)

  P2(1,√(1/3),√(1/6),0)

  P3(1,√(1/3),√(1/6),τ^3/√2)

  a1=1,a2=√(1/3),a3=√(1/6),a4=τ^3/√2

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【3】正24胞体の場合

  p=3,q=4,r=3,hpq=6,Δ=1/4

  P0(0,0,0,0)

  P1(1,0,0,0)

  P2(1,√(1/3),√(2/3),0)

  P3(1,√(1/3),√(2/3),√2)

  a1=1,a2=√(1/3),a3=√(2/3),a4=√2

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