今回のコラムでは，
［参］ベイカー「初等数論講義」サイエンス社
のなかから整除性に関する問題をいくつか取り上げることにします．
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【Ｑ１】ｎ＞１に対して，
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／ｎ
は決して整数にはならないことを証明せよ（タイシンガー，１９１５年）．
調和級数Ｈn＝Σ（１／ｎ）は非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散すること，すなわち，
１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ〜ｌｏｇｎ→∞
は容易に示すことができます．ここで，ｎ番目の調和数を
Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ
と定義すると，Ｈ1=1,Ｈ2=3/2,Ｈ3=11/6,･･･,Ｈ∞=∞となります．この問題はｎ＞１ならば，Ｈn は整数にはならないことを示せというものです．
たとえば，分母が２のべき乗になっている項のうちで，その指数が最大のものを考えると，それと組になる項がどこにもありません．このことから，Ｈnは分子が奇数で，分母が偶数の分数になるのですが，このことをきちんとした形で書いてみましょう．
（証）２^k≦ｎ＜２^k+1となる最大の指数をｋ，Ｐをｎ以下のすべての奇数の積とする．
Ｈn＝１＋１／２＋・・・＋１／２^k＋１／２^k+1＋・・・＋１／ｎ
の両辺に２^k-1Ｐを掛ければ，
２^(k-1)ＰＨn
＝２^(k-1)Ｐ（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ）
右辺の各項は２^k-1Ｐ／２^k＝Ｐ／２以外の項はすべて整数となる．
なお，これと類似の問題としては，
１／（ａ＋１）＋１／（ａ＋２）＋・・・＋１／（ａ＋ｎ）
は決して整数にはならない （クルシュチャク，１９１８年）
１／（ａ＋ｄ）＋１／（ａ＋２ｄ）＋・・・＋１／（ａ＋ｎｄ）
は決して整数にはならない （エルデシュ，１９３２年）
などがあげられます．
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ところで，
Ｓn＝Σ1/n^2=1/1^2+1/2^2+1/3^2+･･･+1/n^2
が整数にならないことを示すのは上の問題よりも簡単です．そもそも１＜Σ1/n^2＜２なのですから整数でないことは自明なのですが，上と同様にやってみましょう．
（証）２^k≦ｎ^2となる最大の指数をｋ，Ｐをｎ以下のすべての奇数の積とすると，
２^(k-1)Ｐ^2Ｓn
＝２^(k-1)Ｐ^2（１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／ｎ^2）
は，２^(k-1)Ｐ^2／２^k以外の項はすべて整数となる．
Σ１／ｎ^2 ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2／６
が収束することは１／ｎ^2＜１／（ｎ−１）ｎを用いて，次のようにして示すことができます．
（証）ｎ次部分和をＰn とすると，
Ｐn ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／ｎ^2
＜１＋１／１・２＋１／２・３＋・・・＋１／（ｎ−１）・ｎ
＝１＋（１／１−１／２）＋（１／２−１／３）＋・・・（１／（ｎ−１）−１／ｎ）
＝２−１／ｎ＜２
より，単調増加数列｛Ｐn ｝は有界でｎ→∞のとき収束することがわかります．
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【Ｑ２】ｐ＞３が素数ならば
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）
の分子はｐ^2で割り切れることを証明せよ（ウォルステンホルムの定理）．
（証）１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）を通分すれば，分母は（ｐ−１）！である．ウィルソンの定理より
（ｐ−１）！＝−１ （ｍｏｄ ｐ）
であるから分母はｐで割り切れない．したがって，
Ｓ＝（ｐ−１）！（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１））
がｐ^2で割り切れることを証明すればよいことになる．
Ｓは１，２，・・・ｐ−１からｐ−２個とったあらゆる組合せの積の和である．そこで
Ｆ＝（ｘ−１）（ｘ−２）・・・（ｘ−ｐ＋１）
＝ｘ^p-1−Ａ1ｘ^p-2＋・・・−Ａp-2ｘ＋Ａp-1
と書けば，根と係数の関係より
Ａp-1＝（ｐ−１）！
Ａp-2＝（ｐ−１）！（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１））
ｘ＝ｐとおけば
（ｐ−１）！＝ｐ^p-1−Ａ1ｘ^p-2＋・・・−Ａp-2ｐ＋Ａp-1
ｐ^p-2−Ａ1ｐ^p-3＋・・・＋Ａp-3ｐ−Ａp-2＝０
Ｓ＝Ａp-2であるから，ここでｐ｜Ａ1，ｐ｜Ａ2，・・・，ｐ｜Ａp-2がいえれば，ｐ＞３のときｐ^2｜Ａp-2．２項係数pＣkを(p,k)と書くことにすると，
ｐ｜(p,k) (k:1~p-1)
であるから，Ａ1〜Ａp-1を２項係数で表すことができればｐ｜Ａ1，ｐ｜Ａ2，・・・，ｐ｜Ａp-2がいえたことになる．
ｘＦ＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−２）・・・（ｘ−ｐ＋１）
＝ｘ^p−Ａ1ｘ^p-1＋・・・−Ａp-2ｘ^2＋Ａp-1ｘ
ｘをｘ−１で置き換えれば
（ｘ−１）^p−Ａ1（ｘ−１）^p-1＋・・・−Ａp-2（ｘ−１）^2＋Ａp-1（ｘ−１）
＝（ｘ−１）（ｘ−２）・・・（ｘ−ｐ＋１）（ｘ−ｐ）
＝（ｘ−ｐ）（ｘ^p−Ａ1ｘ^p-1＋・・・−Ａp-2ｘ^2＋Ａp-1）
ここでｘ^kの係数を比べると
Ａ1＝(p,2)，
２Ａ2＝(p,3)+(p-1,2)Ａ1，
３Ａ3＝(p,4)+(p-1,3)Ａ1+(p-2,2)Ａ2，
（ｐ−１）Ａp-1＝１＋Ａ1＋Ａ2＋・・・＋Ａp-2
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