■単純リー環を使った面数数え上げ(その133)

【1】正単体系の場合

[1]切頂・切稜点

  P0(0,・・・,0)

  P1(a1,0,・・・,0)

  P2(a1,a2,0,・・・,0)

  ・・・・・・・・・・・・・

  Pn(a1,・・・,an)

  aj=√(1/2j(j+1))

  xj/aj=yj,y0=1,yn=0(xn=0)

とおく.

  1/aj-1^2+1/aj^2=2(j−1)j+2j(j+1)=(2j)^2

より

  (yj-1−yj)/(1/aj-1^2+1/aj^2)^1/2=(yj−yj+1)/(1/aj^2+1/aj+1^2)^1/2

  (yj-1−yj)/2j=(yj−yj+1)/2(j+1)

となる.

 点Q(x1,x2,・・・,xn-1,0)から,

  x1=a1平面(1−x1/a1平面)

  x1/a1−x2/a2=0平面

  ・・・・・・・・・・・・・・・

  xn-2/an-2−xn-1/an-1=0平面

までの距離Lが等しいならば,

  (y0−y1)=(y1−y2)/2=(y2−y3)/3=・・・=(yn-2−yn-1)/(n−1)=(yn-1−yn)/n=2L

  2(y0−y1)=(y1−y2)

  3(y1−y2)=2(y2−y3)

  4(y2−y3)=3(y3−y4)

  ・・・・・・・・・・・・・・・

  (n−1)(yn-3−yn-2)=(n−2)(yn-2−yn-1)

  n(yn-2−yn-1)=(n−1)(yn-1−yn)

 第x行まで足しあわせて整理すると

  2(y0−yn-1)=(n−1)(yn-1−yn)→yn-1=(2y0+(n−1)yn)/(n+1)

  2(y0−yn-2)=(n−2)(yn-2−yn-1)→yn-2=(2y0+(n−2)yn-1)/n

  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

  2(y0−y2)=2(y2−y3)→y2=(2y0+2y3)/4

  2(y0−y1)=(y1−y2)→y1=(2y0+y2)/3

 具体的には

  yn-1=2/(n+1)

  yn-2=(2+2(n−2)/(n+1))/n=2(2n−1)/n(n+1)

  yn-3=2(1+(n−3)(2n−1)/n(n+1))/(n−1)=2(2n−1)/n(n+1)=6(n−1)/n(n+1)

となるが,

  yj=(2+jyj+1)/(j+2)

のままにしておく.

  (j+2)yj=(2+jyj+1)

  j(yj+1−yj)=2(yj−1)≦0

  xj+1/aj+1≦xj/aj

  xj+1/xj≦aj+1/aj=√j/(j+2)≦1

xjもyjも減少する傾向にある.

[2]中心から各面までの距離

  Pn(a1,・・・,an)

  aj=√(1/2j(j+1))

と切頂切稜面の距離を求める.

 2次元正単体の場合,

  P2(1/2,√(1/12))=(a1,a2)

  P1(1/2,0)

  P0(0,0)

3次元正単体の場合,

  P3(1/2,√(1/12),√(1/24))=(a1,a2,a3)

  P2(1/2,√(1/12),0)

  P1(1/2,0,0)

  P0(0,0,0)

 切頂切稜面はPkPnに垂直で,点

  Q=(x1,・・・,xn)=(a1y1,・・・,anyn)

を通る.

PnP0=(−a1,−a2,・・・,−an)

PnP1=(0,−a2,−a3,・・・,−an)

PnPn-1=(0,・・・,0,−an)

 ファセットを定めている不等式は,

  a・x=c

で与えられる.一般に,超平面a・x=cと点x0の距離は

  |a・x0−c|/‖a‖

とくに,原点からファセットまでの距離は|c|/‖a‖となる.

 PnP0に垂直なn次元超平面が点Qを通るのだが,原点をPnに移した方が紛らわしくないので

  a=(−a1,−a2,・・・,−an)

  q=(x1−a1,x2−a2,x3−a3,・・・,xn−an)

とすると,この超平面をa・(x−q)=0,a・x=a・q=cで表すと

  c0=−(a1x1+・・・+anxn)+(a1^2+・・・+an^2)

  c0=−(a1^2y1+・・・+an^2yn)+(a1^2+・・・+an^2)

  h0=|c0|/‖d0‖,‖d0‖=(a1^2+・・・+an^2)^1/2

 ここで,

  a1^2+・・・+an^2

=1/2(1/1・2+1/2・3+・・・+1/n・(n+1))

=1/2(1/1−1/2+1/2−1/3+・・・+1/n−1/(n+1))

=1/2(1/1−1/(n+1))

=1/2・n/(n+1)

 PnP1に垂直なn次元超平面では

  a=(0,−a2,・・・,−an)

  c1=−(a2x2+・・・+anxn)+(a2^2+・・・+an^2)

  c1=−(a2^2y2+・・・+an^2yn)+(a2^2+・・・+an^2)

  h1=|c1|/‖d1‖,‖d1‖=(a2^2+・・・+an^2)^1/2

 ここで,

  a2^2+・・・+an^2

=1/2(1/2・3+・・・+1/n・(n+1))

=1/2(1/2−1/3+・・・+1/n−1/(n+1))

=1/2(1/2−1/(n+1))

=1/2・(n−1)/2(n+1)

 PnPn-1に垂直なn次元超平面では

  a=(0,・・・,0,−an)

  cn-1=−anxn+an^2=−an^2yn+an^2

  hn-1=|cn-1|/‖dn-1‖,‖dn-1‖=(an^2)^1/2

 ここで,

  an^2=1/2(1/n・(n+1))

=1/2(1/n−1/(n+1))

=1/2(1/n−1/(n+1))

=1/2・1/n(n+1)

  an^2yn=0

  ‖dk‖^2=1/2(k+1)(k+2)+・・・+1/2n(n+1)=1/2(1/(k+1)−1/(n+1))=(n−k)/2(k+1)(n+1)

 辺の長さを1に規格化する.辺の長さは2L.したがって,

  Hk=hk/2L

である.x1≠a1ならば

  Hk=hk/|1−y1|=hk/2|x1−a1|

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