（その２）で述べたことを要約すると

(1)ｎ次元ボロノイ細胞の１個の頂点の周りにｎ個のｎ−１次元面が集まること

(2)ボロノイベクトルにはボロノイ細胞のｎ−１次元超平面の中心を通過するものがｎ個，ボロノイ細胞の角（ｎ−２次元超平面，・・・）を通過するものが２^n−１−ｎ個で計２^n−１個あること

となる．

　(1)は単体的多面体，(2)はそれを切稜・切頂することをイメージするとよいだろう．具体的にいうと，２次元の場合は正三角形を切頂して正六角形にすること，３次元の場合は正四面体を切稜・切頂して切頂八面体を作ることである．

　切頂八面体は，正方形面を上にして置くと立方体（あるいは正八面体）を切頂した図形にみえるが，正六角形面を上にして置くと正四面体を切稜・切頂した図形になっていることがわかる．

　しかし，正四面体を稜の中点で切頂して作った正八面体の頂点をさらに切頂して切頂八面体を作る操作は，最初から正八面体を直接切頂することと同じことになるので，中川宏さんにお願いして切稜四面体を切頂することを経由して切頂八面体を作って頂くこととなった．

　なお，この操作をｎ次元空間内に拡張するとｎ次元の空間充填平行多面体が得られる．４次元の場合，１０個の切頂八面体と２０個の正六角柱よりなる空間充填平行多面体が導かれることになる．

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【１】切稜・切頂正四面体の計量

　正多面体は（ｐ，ｑ）でパラメトライズできますから，準正多面体に関する諸計量値は（ｐ，ｑ）で表すことによって一般化できます．まず，切頂優位型（切稜多面体のｑ角錐の根本よりも深く切頂する場合）について説明しますが，

　　［参］一松信「正多面体を解く」東海大学出版会

にしたがって，もとになる立体の１辺の長さをａ，切稜パラメータをｘ，切頂パラメータをｙとおくと，

(1)２ｐ角形面と４角形面に挟まれる辺の長さは

　　ｂ＝ａ＋２ｘｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｘ−２ｙ

(2)２ｐ角形面と２ｑ角形面に挟まれる辺の長さは

　　ｃ＝２ｙｃｏｓ（π／ｐ）

(3)４角形面と２ｑ角形面に挟まれる辺の長さは

　　ｄ＝２ｘｃｏｓ（π／ｐ）

で与えられます．

　また，正多面体のある頂点から隣接する頂点までの距離のどのくらいを切稜，切頂するのか，その切稜率をｓ，切頂率をｔとおくと

　　ｓａ＝ｘ，ｔａ＝２ｘ＋ｙ　　　（０≦ｓ≦０．５，０≦ｔ≦１）

ですから

　　ｘ＝ｓａ，ｙ＝（ｔ−２ｓ）ａ

　準正多面体になるための条件は，ｂ＝ｃ＝ｄですから

　　１＋２ｓｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｓ−２ｔ＋４ｓ

　＝２（ｔ−２ｓ）ｃｏｓ（π／ｐ）

　＝２ｓｃｏｓ（π／ｐ）

より

　　ｔ−２ｓ＝ｓ　→　ｔ＝３ｓ

　これを代入すると

　　１＋２ｓｃｏｓ（２π／ｐ）−４ｓ＝２ｓｃｏｓ（π／ｐ）

となり，

　　ｓ＝１／（４−２ｃｏｓ（２π／ｐ）＋２ｃｏｓ（π／ｐ））

　したがって，ｐ＝４（立方体）では

　　ｓ＝１／（４＋√２），ｔ＝３ｓ

ｐ＝５（正１２面体）では

　　ｓ＝１／５，ｔ＝３ｓ

ｐ＝３（正４面体）では

　　ｓ＝１／６，ｔ＝３ｓ

となることがわかります．

　ｘ，ｙではなく，切稜率をｓ，切頂率をｔとおいた理由は正多面体の面にあらかじめ切稜線，切頂線を描くことを考えたからなのですが，それで本当に作りやすくなっているのかどうかはわかりません．しかし，たとえば切頂優位型では元になる正多面体の如何によらずｔ＝３ｓが成り立つなどの性質が明らかになるという利点があります．

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【２】切稜四面体の木工製作

　中川宏さんにお願いして作ってもらった切稜率：ｓ＝１／６の切稜四面体の写真を掲げます．忍者のマキビシとしてもってこいの形です．

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　中川さんとは以前立方体と正十二面体の切稜・切頂図形を考察したことがあったのですが，正四面体の切稜・切頂図形は遣り残していたので気にかかっておりました．これで解決．

　参考までに掲げますが，切稜優位型（根本で切頂する場合）では，ｙ＝０ですから

　　ｂ＝ａ＋２ｘｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｘ

　　ｄ＝２ｘｃｏｓ（π／ｐ）

　準正多面体では，ｂ＝ｄより

　　１＋２ｓｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｓ＝２ｓｃｏｓ（π／ｐ）

　　ｓ＝１／（２−２ｃｏｓ（２π／ｐ）＋２ｃｏｓ（π／ｐ））

したがって，ｐ＝４（立方体）では

　　ｓ＝１／（２＋√２），ｔ＝２ｓ

ｐ＝５（正１２面体）では

　　ｓ＝１／３，ｔ＝２ｓ

ｐ＝３（正４面体）では

　　ｓ＝１／４，ｔ＝２ｓ

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　さらに，切頂型多面体では，ｘ＝０（ｓ＝０）とおいて

　　ｂ＝ａ−２ｙ

　　ｃ＝２ｙｃｏｓ（π／ｐ）

　準正多面体では，ｂ＝ｃより

　　１−２ｔ＝２ｔｃｏｓ（π／ｐ）

　　ｔ＝１／（２＋２ｃｏｓ（π／ｐ））

したがって，ｐ＝４（立方体）では

　　ｔ＝１／（２＋√２）

ｐ＝５（正１２面体）では

　　ｔ＝２／（５＋√５）

ｐ＝３（正４面体）では

　　ｔ＝１／３

となることもわかります．

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【３】切頂四面体による空間充填

　中川宏さんから

　　［参］別宮利昭「忍者もおどろくマキビシの術」別冊・数理科学「創作パズルＶＩ」サイエンス社，１９８１年

に掲載された面白い空間充填を教えてもらったので紹介します．

　正四面体に切頂率：ｔ＝１／３の切頂を施すと準正多面体が得られます．しかし，ここではｔ＝１／４の八面体を考えます．この八面体は３次元空間充填体になるというのです．平行多面体と異なる特徴は，面をずらさなけれなならないということです．平行多面体に限らなければもっと多くの空間充填が考えられるということなのでしょうが，ちょっと意外な首をかしげたくなるような空間充填です．

(1)４つの尖端からｔ＝１／４の相似形を切り取った８面体

すなわち，正四面体の４つの尖端すべてから相似形を切り取るのではなく

(2)３つの尖端からｔ＝１／３の相似形を切り取った７面体

(3)２つの尖端からｔ＝１／２の相似形を切り取った６面体

も，３次元空間充填体になるとのことです．

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