３次元の空間が多面体により分割されるとき，３個の多面体の面が合して１本の稜線を形成し（内容的には同じことであるが）４本の稜線が１点に集まる．立方体を稜線が立方格子をなすように積み上げると，これでは１頂点に集まる稜の数は６となり，空間分割の局所条件は満足されない．
これは生物であろうと無生物であろうとに関わりなくすべて構造物について，例外なく通用する物理学的な過程である．熱力学第２法則の幾何学化であるといってもよい．
生体の構造は極めて精緻で複雑なものである．神秘に満ちた生体の構造にはＤＮＡの差に基づくものが存在する半面，ＤＮＡ情報の差にも関わらず共通になるものがあることを示すものである．これにより生物と無生物を境してきた壁が消失することになるが，このことは大きな驚きをもって受け容れなければならないことであろう．
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【１】分割多面体の幾何学的性格
１個の多面体を分離して考えてみると，分割多面体の幾何学的性格で最も重要なものは，多面体のいずれの頂点にも３本の稜が集まるということである．そしてこのような多面体で空間を充填すれば，１個の頂点は４個の多面体によって共有され，そこには必ず４本の稜が集まる形になる．
分割多面体では１個の頂点に３本の辺が集まり，また１本の辺は２個の頂点を結ぶことから，
２ｅ＝３ｖ
これを
ｖ−ｅ＋ｆ＝２ （オイラーの多面体定理）
に代入して整理すれば
ｖ＝２（ｆ−２）
ｅ＝３（ｆ−２）
となる．つまり，面の数ｆが与えられれば辺数ｅと頂点数ｖは一義的に決まる性質をもっており，また頂点数ｖは必ず偶数になることもわかるだろう．
しかしながら，空間分割の面の数などは一義的には決まらず，統計的にしか扱えない．このことが空間分割の幾何学的研究を困難としている最大の原因となっている．
３次元の球の詰め込み問題について，１個の球に何個の同じ大きさの球が接しうるか？ 証明は簡単でないから省略するが，最小６から最大１２までになる（平均：約８．５）．分割多面体の面数ｆがどの範囲におさまるかを証明することは困難と思われるが，６〜１２までの接触数のすべての場合を通じて，接触球が規則的な配置をとる仮定すれば，面の数ｆは最大１８，最小１０であることが誘導される．
したがって，等しい大きさの球のrandom packingから出発する分割多面体の面数ｆ＝１４±４という値は，１４面体が最も多いとする実験的研究から得られた値を裏付ける１つの根拠を与えてくれるのである．事実これまでの植物細胞についての観察結果でも全体の７４％が１２〜１６面であり，５６％が１３〜１５面（平均１３．９６面）という値が得られている．
以下，１４面体の幾何学的性質について少し調べてみるが，ｆ＝１４とおくとｖ＝２４，ｅ＝３６となる．つぎに，面が何角形になるかを求めてみると，これはもちろん１通りではないが，１本の辺は２個の面によって共有されることを考慮し，各頂点に平均してｐ角形がｑ面が会するとすると，ｐmｆ＝２ｅ，ｑmｖ＝２ｅより，その平均辺数ｐmと平均会合面数ｑmは
ｐm＝２ｅ／ｆ＝５．１４・・・
ｑm＝２ｅ／ｖ＝３
を得ることができる．
このことから，１４面体の面のかたちについては，必然的に辺数５を中心とする分布をなすことが示唆される．このことは，経験的に５角形の頻度が最も高いという観察結果に一致しているのである．
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【２】２次元平面の分割
ザクロ，ハチの巣，石鹸の泡などのように，３次元空間がある立体（多面体）によって分割される空間分割は，生物と無生物を問わず，自然界に広く見られる現象である．生物材料や石鹸の泡などでは１４面体の空間分割構造が実際に観察されるが，前節では１４面体が得られる理由について考えてみた．球をrandom packingしたときの多面体の面数は１４面，面の形は五角形がもっとも多いことなどいくつかの重要な規則性が知られているからである．
２次元平面について同様のことを考察すると，２個の多角形が１辺を共有し，３辺が１頂点に集まる形になる．これで力学的に安定した平衡が得られるのであるが，出発点になる円の大きさがすべて等しいときには平面は同じ大きさの正六角形の規則的配置によって分割されることになる．もっとも規則的な正六角形により分割されるのは平面の場合だけで，一般の曲面についてはそうはいかないだろうが・・・．
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【３】平行多面体の平均会合面数
平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，３次元格子から決まる本質的なボロノイ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体（平行６面体を含む），６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかありません．
６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致しています．これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないのですが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられます．
切頂八面体は１６種ある準正多面体（アルキメデス体）のひとつです．また，菱形十二面体は準正多面体のひとつである立方八面体の双対図形です．菱形十二面体も切頂八面体もどちらも単独で空間充填可能な立体図形なのですが，菱形十二面体が面心立方格子のボロノイ図であるのに対して，切頂八面体は体心立方格子のボロノイ図となっています．切頂８面体（ｆ＝１４）の辺を点に縮めることによって，長菱形１２面体（ｆ＝１２）→菱形１２面体（ｆ＝１２）→６角柱（ｆ＝８）→立方体（ｆ＝６）ができると考えることができます．１点に４個の多面体が会してボロノイ分割に対して安定なものは切頂八面体だけなのですが，立方体や菱形十二面体は，切頂八面体の辺を点に縮めることによって得られるというわけです．
空間分割多面体ではｑm＝３の場合を扱いますが，ここではよく知られた空間充填立体である菱形十二面体や切頂八面体について，平均会合面数を求めてみることにしましょう．
ｆ ｅ ｖ ｑm ｐm
立方体 ６ １２ ８ ３ ４
６角柱 ８ １８ １２ ３ ４．５
菱形１２面体 １２ ２４ １４ ３．４３ ４
長菱形１２面体 １２ ２８ １８ ３．１１ ４．６７
切頂８面体 １４ ３６ ２４ ３ ５．１４
このように，多面体ごとに
ｐm＝２ｅ／ｆ，ｑm＝２ｅ／ｖ
は異なりますが，平均会合面数は菱形十二面体で最大でｑm＝３．４３，切頂八面体は立方体や六角柱と等しく，ｑm＝３という結果が得られました．
ついでに，空間を体積が等しい凸多面体で，平均表面積ができるだけ小さくなるように分割せよという問題を考えてみることにしましょう．この問題はかなり長い間，菱形１２面体による空間分割が解だと考えられていたのですが，予想に反して，体積１のときの表面積を求めると，菱形１２面体型分割では
3√１０８√２＝５．３４５・・・
切頂８面体型分割では
３／４3√４（１＋√１２）＝５．３１４・・・
と後者の方が約０．５％少なくなります．
このようにして，１８８７年，英国の物理学者，ケルビン卿（ウィリアム・トムソン）は切頂八面体の集合によって空間を満たすことができ，そのときの界面積は菱形十二面体で満たしたときより小さいことを発見しました．すなわち，切頂八面体は表面張力を最小とする空間分割構造であると考えることができるのです．
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【４】単一１４面体による空間分割
直方体のブロックをその側面を互いに接合させる．その際，接合面が隣接する接合面に接続しないように組み上げる．このようなブロックの重ね方には２通りあり，１つはブロックの列の長軸方向が平行になる場合（α型），他の１つはブロックの列の長軸方向が直交する場合（β型）である．
α型でもβ型でも空間分割の局所条件（３個の多面体の面が合して１本の稜線を形成し，４本の稜線が１点に集まる）を満足し，位相幾何学的な面の数は１４になる．
この結論は重要である．空間分割の局所条件を満足させる多面体は１４面体であり，それ以外にこの条件を満足する単一多面体は存在しないことを明確に示すからである．たとえば，１２面体だけで空間分割の局所条件を満足させながら空間を隙間なく分割することは不可能である．
α１４面体の代表がケルビンの１４面体（切頂８面体を１方向に圧縮または伸張した多面体），β１４面体の代表がウィリアムズの１４面体である．α１４面体はまったく五角形面をもたないのに対し，β１４面体は曲面状の五角形面をもつという違いがある．これについては
［参］諏訪紀夫「病理形態学原論」岩波書店
に詳しい解説がある．
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