今回のコラムでは，このシリーズで解説したディオファントス近似について補足や訂正をしてみたい．

　　［参］ベイカー「初等数論講義」サイエンス社

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】２次の無理数，３次の無理数

　２次方程式の解となる√ｎの連分数展開を求めると，たとえば

　　√２＝［１：２，２，２，２，・・・］

　　√３＝［１：１，２，１，２，１，２，１，２，・・・］

　　√７＝［２：１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］

のように循環型の単純連分数に展開されることが知られている（ラグランジュの定理）．

　しかし，３次以上の方程式の解，たとえば3√２の連分数展開を求めると，

　　3√２＝［１：３，１，５，１，１，４，１，１，８，１，１４，１，１０，２，１，４，・・・］

の一般項は求めることができない．この展開に現れる整数に最大値があることも示すこともできないのである．

　超越数ｅの連分数展開は，

　　ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，１，８，１，１，１０，１，１，１２，１，１，１４，１，１，１６，・・・］

と書け，数字の出方が自然数順になっていることがわかる．

　　ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，・・・，１，２ｎ，１，・・・］

すなわち，ｅの連分数展開は２次の無理数のように規則性があるわけだが，ｅのように超幾何関数の特殊値は３次の無理数よりも，２次の無理数に近いということなのだろうか？

　しかし，πの連分数展開

　　π＝［３；７，１５，１，２９２，１，１，１，２，１，３，１，１４，２，１，１，２，２，２，２，１，８４，２，１，１，１５，３，１３，１，４，２，６，６，９９，１，２，２，６，３，５，１，１，６，・・・］

にはなんの規則性も見あたらないようにみえる．もちろん，一般項は見つかっていない．

　πに現れる数字０〜９については，重複対数の法則と呼ばれるランダムウォークに基づく非常に厳しいランダムネス検定にも十分合格することが確かめられている．πには少なくとも何進法かの表現の下でなにか隠された未発見の規則性があるに違いないと信じている人もいるが，現在のところ，πは最も複雑な数なのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ディリクレの定理の証明

　ディリクレの定理，すなわち「任意の実数αについて

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2

を満たす有理数ａn／ｂnが存在する．」の証明を再度掲げることにする．

（証）αが有理数で，α＝ｐ／ｑと表されたとする．｛ｂn｝は次々に大きくなる整数列であるから，ｑ＜ｂnである番号をとると

　　｜α−ａn／ｂn｜＝｜ｐ／ｑ−ａn／ｂn｜＝｜ｐｂn−ｑａn｜／ｑｂn

　しかし，ａn／ｂnはαとは一致しないので分子は１以上．したがって

　　｜α−ａn／ｂn｜≧１／ｑｂn

であるが，これが＜１／ｂn^2なのでｑ＞ｂnとなり矛盾．すなわち，αは有理数ではあり得ないことになる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　このように，「ディリクレの定理」の証明は，引き出し論法あるいは鳩の巣原理と呼ばれるものから容易に導かれる．この原理はｎ個の巣箱にｎ＋１羽の鳩が入っているならば，ある巣箱には少なくとも２羽の鳩が入っていなければならないというものである．

　ｘの小数部分ｘ−［ｘ］を｛ｘ｝と書くことにすると，０≦｛ｘ｝＜１である．ここでｑ＋１個の数，０，１，｛α｝，｛２α｝，・・・，｛（ｑ−１）α｝を考えると，これらの数はすべて区間［０，１］に属する．

　区間［０，１］をｑ個の互いに交わらないながさ１／ｑの小区間に分割すれば，ｑ＋１個の数のうちの２個は同じ小区間に入ることになる．その２数の差はｂnα−ａnで，また，０＜ｂn＜ｑであるから，｜ｂnα−ａn｜≦１／ｑが成り立つ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】フルヴィッツの定理

　連続する２つの近似分数をａn／ｂn，ａn+1／ｂn+1とすると，それらのうち一方は

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／２ｂ^2を満たす．

（証）α−ａn／ｂn，α−ａn+1／ｂn+1は反対符号で，ａnｂn+1−ａn+1ｂn＝（−１）^(n+1)であるから

　　｜α−ａn／ｂn｜＋｜α−ａn+1／ｂn+1｜

　＝｜ａn／ｂn−ａn+1／ｂn+1｜

　＝１／ｂnｂn+1

任意の実数α，βに対してαβ＜（α^2＋β^2）／２であるから

　　１／ｂnｂn+1＜１／（２ｂn^2）＋１／（２ｂn+1^2）

これより題意の結果が得られる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　連続する３つの近似分数をａn／ｂn，ａn+1／ｂn+1，ａn+2／ｂn+2とすると，それらのうち少なくともひとつは

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2を満たす．

　この結果から「フルヴィッツの定理」

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2を満たす有理数ａ／ｂは無限に多く存在する．

を証明することができる．この定数√５は最良のもので，これより大きな数に置き換えることはできないが，αの連分数展開が有限個を除いてすべて１になる無理数を除外すれば，フルヴィッツの定理は√５の代わりに√８を用いても成り立つ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】トゥエ・ジーゲル・ロスの定理

　２次の無理数では，ある数ｃが存在して

　　｜α−ｐ／ｑ｜＞ｃ／ｑ^2

がすべての有理数ｐ／ｑに対して成り立つことが導かれたが，リューヴィルはこのような定理がより一般の任意の代数的無理数に対しても成立することを証明した．

　すなわち，代数的数αの次数をｎ（≧２）とすると，

　　｜α−ｐ／ｑ｜＞ｃ／ｑ^n

がすべての有理数ｐ／ｑに対して成り立つ（リューヴィルの定理，１８４４年）．

　それでは

　　｜α−ｐ／ｑ｜＞ｃ／ｑ^k

がすべての有理数ｐ／ｑに対して成り立つｋはいくつになるのだろうか？　この指数ｋを改良するために多くの研究がなされた．「ロスの定理」は最良のものである．

　　ｋ≧ｎ　　　（リューヴィル，１８４４）

　　ｋ＞ｎ／２＋１　　　（トゥエ，１９０９）

　　ｋ＞２√ｎ　　　（ジーゲル，１９２１）

　　ｋ＞√（２ｎ）　　　（ダイソン，ゲルファント，１９４７）

　　ｋ＞２　　　（ロス，１９５５）

　トゥエ・ジーゲル・ロスの定理はｋのある値に対して，ｃの値が存在することを証明したが，ｃの値を具体的に定めることはできない．そうではあるが，特別な代数的数に対しては効果的な結果が得られている．たとえば，ベイカーは超幾何関数の性質を用いて，すべての有理数ｐ／ｑに対して

　　｜3√２−ｐ／ｑ｜＞１０^-6／ｑ^2.955

が成り立つことを証明した（１９６４年）．ｎ≧３の一般の代数的無理数に対するｃの値を具体的に与えられる希望が見えてきたのである．

　超越数の理論から，任意のεに対してｃ＞０が存在して，すべての整数ｐ，ｑ1，・・・ｑnに対して

　　｜ｑ1ｅ＋・・・＋ｑnｅ^n−ｐ｜＞ｃｑ^(-n-ε)　　　ｑ＝ｍａｘ｜ｑi｜

が成り立つが，トゥエ・ジーゲル・ロスの定理を一般化したシュミット（１９７１年）の研究は，ｅ，・・・，ｅ^nを有理数上１次独立であるような代数的数θ，・・・，θ^nに置き換えても同じことが成り立つことを示している．

　　｜ｑ1θ＋・・・＋ｑnθ^n−ｐ｜＞ｃｑ^(-n-ε)　　　ｑ＝ｍａｘ｜ｑi｜

シュミットの拡張は部分空間定理と呼ばれるものである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【補】モーデル方程式

　楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋ｋ　　　（ｋ：整数）

の有理点に関して，たとえば，

ｋ＝−２：無限に多くの有理点をもつ

ｋ＝１　：（０，±１），（−１，０），（２，±３）以外に有理点をもたない

ｋ＝−５：決して有理点をもたない

　整数点に関して，モーデルは２元３次形式の簡約理論とトゥエの定理から整数点は有限個しか存在しないことを証明した．

ｋ＝−２８：すべての整数解は（４，±６），（８，±２２），（３７，±２５５）

ｋ＝１１　：整数解をもたない

ｋ＝−１１：すべての整数解は（３，±４），（１５，±５８）

　モーデルは，この結果を

　　ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ

に拡張した．右辺の３次式は異なる零点をもつことから，３次式よりは４次式の簡約に依拠する必要があった．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝