コラム「ルジャンドルの定理」では，３元２次形式に関するルジャンドルの定理「正整数ｎが３つの平方数の和として表せる←→４^m（８ｋ＋７）の形をした数ではない．」とこの定理から導かれる結果を取り上げてみましたが，数論においてはどのような整数が２次形式で表現されるかというのは基本的な問題のひとつです．
２元２次形式ｆ（ｘ，ｙ）＝３ｘ^2＋６ｘｙ−５ｙ^2について，ｆ（１，１）＝４より４がｆの値のひとつでることはすぐわかりますが，ｆ（ｘ，ｙ）＝７となる（ｘ，ｙ）を見つけだせという問題は答えがすぐに見つかるような問題ではありません．すべての（ｘ，ｙ）について試してみるというのも明らかに不可能です．実はこのディオファントス方程式は整数の範囲では解けないのです．
結論を先にいうと，２元２次形式のディオファントス方程式
ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝ｎ （ａ，ｂ，ｃ，ｎは整数）
［ｘ，ｙ］［ａ，ｂ／２］［ｘ］＝ｎ
［ｂ／２，ｃ］［ｙ］
が整数解（ｘ，ｙ）をもつか否かを判定し，それを決定するためのアルゴリズムが存在し，それは判別式をｄ＝ｂ^2−４ａｃとすると
「ｎが判別式ｄのある２元２次形式で表現されるための必要十分条件は
ｘ^2＝ｄ （ｍｏｄ ４ｎ）
が解をもつことである．」
また，２元２次形式の同値類を決定する方法も存在します．今回のコラムではこれらについてまとめてみることにします．
［参］ベイカー「初等数論講義」サイエンス社
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【１】同値な２元２次形式
整数係数の２元２次形式
ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2
の判別式はｄ＝ｂ^2−４ａｃで与えられる．与えられた判別式ｄをもつ２次形式では主形式と呼ばれる２次形式が存在する．たとえば，
ｂが偶数→ｄ＝０ （ｍｏｄ４）→ｘ^2−ｄ／４ｙ^2
ｂが奇数→ｄ＝１ （ｍｏｄ４）→ｘ^2＋ｘｙ＋（１−ｄ）／４ｙ^2
が判別式ｄの主形式である．
４ａｆ（ｘ，ｙ）＝（２ａｘ＋ｂｙ）^2−ｄｙ^2
であるから，ｄ＜０ならばｆは同じ符号をとり，正定値または負定値２次形式となる．
ｘ＝［ｘ］ ｈ＝［ａ，ｈ／２］
［ｙ］ ［ｈ／２，ｂ］
とおいて行列・ベクトル表現すると，ｆ＝ｘ’ｈｘとなる．整数係数ユニモジュラー変換とは，ｐｓ−ｑｒ＝１を満たす整数により
ｘ＝［ｘ］＝［ｐ，ｑ］［Ｘ］＝ｕＸ
［ｙ］ ［ｒ，ｓ］［Ｙ］
ｆはＸ’ｕ’ｈｕＸ＝Ｘ’ＨＸに変換されるが，その際，ｘ’ｈｘがとる値の集合とＸ’ＨＸがとる値の集合は一致する．
また，判別式は
ｂ’^2−４ａ’ｃ’＝ｄ（ｐｓ−ｑｒ）^2
となり，同値な２次形式は同じ判別式をもつことがわかる．たとえば，ａ＝ａ’，ｂ＝±ｂ’，ｃ＝ｃ’は同値な２次形式となる．
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【２】２元２次形式の簡約理論
正定値２次形式
ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2 （ｄ＜０，ａ＞０，ｃ＞０）
はａとｃを交換する整数係数ユニモジュラー変換
［ｘ］＝［０， １］［ｘ’］
［ｙ］ ［−１，０］［ｙ’］
およびｂをｂ±２ａにかえる整数係数ユニモジュラー変換
［ｘ］＝［１，±１］［ｘ’］
［ｙ］ ［０， １］［ｙ’］
を有限回行うことによって，
｜ｂ｜≦ａ≦ｃ
を満たす２次形式に簡約される．
与えられた判別式ｄをもつ簡約２次形式は有限個しかない．−ｄ＝４ａｃ−ｂ^2≧３ａｃであるから，ａ，ｃ，｜ｂ｜は｜ｄ｜／３を越えることはないからである．
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２変数２次形式
［ａ，ｈ］
［ｈ，ｂ］
がミンコフスキー簡約であるための条件は
｜２ｈ｜≦ａ≦ｂ
３変数２次形式
［ａ，ｈ，ｇ］
［ｈ，ｂ，ｆ］
［ｇ，ｆ，ｃ］
がミンコフスキー簡約であるための条件は
ａ≦ｂ≦ｃ
｜２ｈ｜≦ａ，｜２ｇ｜≦ａ，｜２ｇ｜≦ｂ
２｜ｈ±ｇ±ｆ｜≦ａ＋ｂ
次元が高くなるに従って条件不等式は爆発的に増える．その不等式を全部書き下すことができるのはせいぜい７次元くらいまでであるから，正定値２次形式に関する簡約理論がいかに見事かわかるだろう．
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【３】簡約２次形式と類数
それでは，与えられた判別式ｄをもつ簡約２次形式は何個あるのだろうか？判別式ｄの簡約２次形式の個数を類数と呼び，ｈ（ｄ）と書く．たとえばｄ＝−４のとき，３ａｃ≦４よりａ＝ｃ＝１，ｂ＝０．したがってｈ（−４）＝１
−ｄ＝４ａｃ−ｂ^2≧３ａｃ→−ａ＜ｂ≦ａ＜ｃまたは０≦ｂ≦ａ＝ｃより，（ａ，ｃ）を定め，それらに対しｂ^2＝４ａｃ＋ｄより，ｂが定められるかどうかを見てみよう．
［１］ｄ＝−３
３ａｃ≦３→（ａ，ｃ）＝（１，１），ｂ＝±１．しかし，変換
［ｘ］＝［１，−１］［ｘ’］
［ｙ］ ［０， １］［ｙ’］
により（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，１）と（１，−１，１）は同値．ゆえにｈ（−３）＝１
［２］ｄ＝−４，ｈ（−３）＝１
［３］ｄ＝−７
３ａｃ≦７→（ａ，ｃ）＝（１，２），ｂ＝±１．（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，２）と（１，−１，２）は同値．ゆえにｈ（−７）＝１
［４］ｄ＝−８
３ａｃ≦８→（ａ，ｃ）＝（１，２），ｂ＝０．ｈ（−８）＝１
［５］ｄ＝−１１
３ａｃ≦１１→（ａ，ｃ）＝（１，３），ｂ＝±１．（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，３）と（１，−１，３）は同値．ゆえにｈ（−１１）＝１
［６］ｄ＝−１９
３ａｃ≦１９→（ａ，ｃ）＝（１，５），ｂ＝±１．（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，５）と（１，−１，５）は同値．ゆえにｈ（−１９）＝１
［７］ｄ＝−４３
３ａｃ≦４３→（ａ，ｃ）＝（１，１１），ｂ＝±１．
（ａ，ｃ）＝（１，１３），ｂ＝±３．
しかし，変換
［ｘ］＝［１，−１］［ｘ’］
［ｙ］ ［０， １］［ｙ’］
により（１，１，１１）→（１，−１，１１），（１，３，１３）→（１，１，１１），（１，−１，１１）→（１，−３，１３）．ゆえにｈ（−４３）＝１
［８］ｄ＝−６７
３ａｃ≦６７→（ａ，ｃ）＝（１，１７），ｂ＝±１．
（ａ，ｃ）＝（１，１９），ｂ＝±３．
しかし，変換により（１，１，１７）→（１，−１，１７），（１，３，１９）→（１，１，１７），（１，−１，１３）→（１，−３，１９）．ゆえにｈ（−６７）＝１
［９］ｄ＝−１６３
３ａｃ≦１６３→（ａ，ｃ）＝（１，４１），ｂ＝±１．
（ａ，ｃ）＝（１，４３），ｂ＝±３．
（ａ，ｃ）＝（１，４７），ｂ＝±５．
（ａ，ｃ）＝（１，５３），ｂ＝±７．
しかし，変換により（１，１，４１）→（１，−１，４１），（１，３，４３）→（１，１，４１），（１，−３，４３）→（１，−５，４７），（１，５，４７）→（１，３，４３），（１，７，５３）→（１，５，４７），（１，−５，４７）→（１，−７，５３），（１，−１，４１）→（１，−１，４３）．ゆえにｈ（−１６３）＝１．
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類数ｈ（ｄ）とは判別式ｄをもつ２次形式の非同値な類の個数にほかならないのであるが，ところで，一意分解性をもつ虚２次体Ｑ（√ｄ）はすべて知られていて
ｄ＝−１，−２，−３，−７，−１１，−１９，−４３，−６７，−１６３
であることが１９６６年，ベイカーとスタークにより独立に証明された．（両者の方法はまったく異なり，一方は超越数の理論，他方は楕円モデュラー関数の研究に依拠するものである．）
Ｑ（√−５）において
６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）
Ｑ（√−６）において
６＝２・３＝（√−６）（−√−６）
はＱ（√−５）やＱ（√−６）が一意分解性をもたないことを示すものである．
たとえば，２＝（ａ＋ｂ√−６）（ｃ＋ｄ√−６）とおいて，ノルムをとれば４＝（ａ^2＋６ｂ^2）（ｃ^2＋６ｄ^2）．これより（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＝（±１，０，±２，０），（±２，０，±１，０）．ゆえに２は既約．同様に３，√−６も既約である．
それに対して，Ｑ（√３）において
２２＝２・１１＝（５＋√３）（５−√３）
はＱ（√３）が一意分解性をもつことと矛盾しない．２，１１，５＋√３，５−√３は既約ではないからである．
２＝（−１＋√３）（１＋√３）
１１＝（−１＋２√３）（１＋２√３）
５−√３＝（−１＋√３）（１＋２√３）
５＋√３＝（−１＋２√３）（１＋√３）
一意分解性をもつ実２次体Ｑ（√ｄ）のすべてを見いだす問題は未解決であるが，無限に多く存在するだろうと予想されている（それすら証明されていない）．
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【４】２元２次形式による表現
ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝ｎ
「ｎが判別式ｄのある２次形式で表現されるための必要十分条件は
ｘ^2＝ｄ （ｍｏｄ ４ｎ）
が解をもつこと」である．
［１］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）
ｍ＝４ｋ＋３の形をした数は２つの平方数の和になりません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｋ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．すなわち，
「ｘ^2＋ｙ^2＝ｎと表されるための必要十分条件は，ｐ＝３ （ｍｏｄ ４）なるｎの素因数ｐが偶数ベキであることである．」
［２］３平方和の定理
「正整数ｎが３つの平方数の和として表せる←→４^m（８ｋ＋７）の形をした数ではない．」
ｎ≠４^m（８ｋ＋７）はｎが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論としてこの結果を得ています．
［３］バシェ・ラグランジュの定理
「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，「バシェ・ラグランジュの定理」です．驚くべきことに，任意の自然数がたった４つの平方数の和の形に表せるのです．このことを，シンボリックに書くと
ｎ＝□＋□＋□＋□
となります．□は平方数の意味です．
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【５】ウェアリングの問題
１７７０年，ウェアリングは４平方和定理を拡張して，
「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」
ことを証明抜きで主張しました（９三乗数定理，１９四乗数定理）．これが，有名なウェアリングの問題です．
ｇ（２）＝４はラグランジュにより，ｇ（３）＝９はヴィーフェリッヒによって証明されました（１９０９年）．
４^k（８ｎ＋７）の形の数は４個の２乗を必要とする（たとえば，７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2）のに対して，９個の３乗を必要とする数は，たった２つの場合だけが知られています．
２３＝２・２^3＋７・１^3
２３９＝２・４^3＋４・３^3＋３・１^3
そして，１９３９年，ディクソンは２３，２３９以外の整数はすべて８個の３乗数の和で書けることを示しています．（８個の立方数の和として表せない自然数は，１５，２２，５０，１１４，１６９，１７５，１８６，２１２，２３１，２３８，３０３，３６４，４２０，４２８，４５４の１５個だけである．）
ウェアリングの問題は，２次形式ではなく高次形式を扱っていて，多くの数学的思考を刺激しました．そして，１９０９年，ヒルベルトによって
「どの数もｇ個のｋ乗数の和で表される」
ことが肯定的に証明されています．
ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^k
ヒルベルトはｇ（ｋ）の値がｋのみによって表されることを証明したのですが，それはｇ（ｋ）の存在のみを証明したのであって具体的な値を決める方法を示したものではありませんでした．
１８５９年，リューヴィルはｇ（４）≦５３を示しました．ｇ（４）＝１９ですからこの結果は実際とはかなり隔たりがあるのですが，ｇ（４）の限界を与える方法を初めて示したことになります．そのあたりからいろいろな研究がなされることになりました．そして，１９四乗数定理：
「すべての正の整数は１９個の４乗数の和で表される」
は１９８６年に証明されています．つまり，ウェアリングの問題（１８世紀）も２００年以上かかって解決されたことになります．
なお，ｇ乗数は平方数よりもずっとまばらにしか分布しませんから，以下，３７個の５乗数の和，７３個の６乗数の和，・・・と続きます．実は，ガウス記号を用いて
ｇ（ｋ）＝２^k＋［（３／２）^k］−２
の式が正しいだろうと予想されています．１≦ｋ≦１０では
ｋ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
下界 １ ４ ９ 19 37 73 143 279 548 1079
となり，ここに示した値はすべてこの式を満たし，かなりの範囲のところまで正しいことが確認されます．
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（Ｑ）ｋを正の整数として，ｎ＝２^k［（３／２）^k］−１とするとき，ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^kと書かれるような最小の正の整数ｇを求めよ．
（Ａ）２^k［（３／２）^k］−１＜３^kであるから，ｎをｋ乗数の和として表すときに１^kと２^kしか使えないことがわかる．
７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2
２３＝２・２^3＋７・１^3
のように，ｎ＝２^k＋・・・＋２^k＋・・・とできるだけ２^kを並べ，あとは１^k＋・・・＋１^kとすればよい．
そのときの２^kの個数は［（３／２）^k］−１，２^kの個数はｎ−２^k｛［（３／２）^k］−１｝＝２^k−１であるから
ｇ＝［（３／２）^k］−１＋２^k−１＝２^k＋［（３／２）^k］−２
ｇ（ｋ）≧２^k＋［（３／２）^k］−２
の不等式を証明したのはオイラーの息子，ヨハン・アルブレヒト・オイラー（１７７２年）で，この式では等号が成立すると予想されているのです．
なお，ウェアリングの予想は１９０９年ヒルベルトによって証明されましたが，１９２９年にまったく異なった証明法（円周法）がハーディとリトルウッドにより与えられています．
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