このシリーズで計算していることは

［１］立方体と正八面体の基本単体を球面上に投影した図形は相等しい．

［２］正１２面体と正二十面体の基本単体を球面上に投影した図形は相等しい．

の直接的な証明になっているのであるが，今回のコラムでは展開図について計量しておきたい．

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【１】正２０面体

　正２０面体の１／１２０の直角四面体で，θ＝π／６として

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，ｔａｎθ，０）＝（１，√（１／３），０）

　　Ｐ3（１，ｔａｎθ，τ^2／２ｃｏｓθ）＝（１，√（１／３），τ^2／√３）

にとることができる．底面は（３０°，６０°，９０°）の直角三角形である．その高さは正四面体の基本単体の有理数倍にはならないことが確かめられた．

　その二面角は（９０°，９０°，９０°，６０°，３６°，６９．０９４９°）になる．

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【２】正１２面体

　正１２面体の１／１２０の直角四面体で，θ＝３π／１０として

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，ｔａｎθ，０）

　　Ｐ3（１，ｔａｎθ，τ^2／２ｃｏｓθ）

にとることができる．底面は（３６°，５４°，９０°）の直角三角形である．

　その二面角は（９０°，９０°，９０°，６０°，３６°，５８．２８２６°）になる．

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【３】計量

　　　　　正２０面体（θ＝π／６）　　正１２面体（θ＝３π／１０）

Ｐ0Ｐ1　　　　１　　　　　　　　　　　　　　１

Ｐ0Ｐ2　　　　１．１５４７　　　　　　　　　１．７０１３

Ｐ0Ｐ3　　　　１．９０２１１　　　　　　　　２．８０５１

Ｐ1Ｐ2　　　　０．５７７３５　　　　　　　　１．３７６３８

Ｐ1Ｐ3　　　　１．６１８０３　　　　　　　　２．６１８０３

Ｐ2Ｐ3　　　　１．５１１５２　　　　　　　　２．２２７０３

∠Ｐ1Ｐ0Ｐ2　　３０　　　　　　　　　　　　　５４

∠Ｐ2Ｐ0Ｐ3　　５２．６２２７　　　　　　　　５２．６２２７

∠Ｐ1Ｐ0Ｐ3　　５８．２８２６　　　　　　　　６９．０９４９

∠Ｐ2Ｐ1Ｐ3　　６９．０９４９　　　　　　　　５８．２８２６

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