正多面体でも３・４次元と５次元以上の違いがある．すなわち，５次元以上のユークリッド空間のなかにある正多面体は３種類あるが，３次元では５種類，４次元では６である．はっきりとした次元の特色であろう．

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【１】高次元位相的ポアンカレ予想

　ｎ次元球面に対して，単連結でホモロジー群がｎ次元球面と等しいならば同相か？

［１］ｎ≧５のとき，この予想は正しい（スメール，１９６０年代）

［２］ｎ＝４のとき，この予想は正しい（フリードマン，１９８２年）

［３］ｎ＝３のとき，この予想は正しい（ペレルマン，２００３年）

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【２】高次元微分可能ポアンカレ予想

　微分可能構造も考えて，ｎ次元球面に対して，単連結でホモロジー群がｎ次元球面と等しいならば同相か？

［１］ｎ＝４のとき，未解決．

［２］ｎ≧７のとき，反例がある（ミルナー）．

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