（その２）では，平方根のディオファントス近似における「ディリクレの定理」を述べた．すなわち，近似分数列｛ａn／ｂn｝で非常によく近似できる実数αについて

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2

が成立するならばαは無理数である（右辺はこの定数倍でもよい）．これは無理数が無限に多くの既約分数解｛ａn／ｂn｝をもつことを示している．

　それでは

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^k

が無限に多くの解をもつことができるような最大の実数ｋはいくつになるのだろうか？　ｋを求める問題は１種の最良近似問題であるが，今回のコラムでは「ロスの定理」を紹介することにする．

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【１】ディリクレの定理の証明

　αが有理数で，α＝ｐ／ｑと表されたとする．｛ｂn｝は次々に大きくなる整数列であるから，ｑ＜ｂnである番号をとると

　　｜α−ａn／ｂn｜＝｜ｐ／ｑ−ａn／ｂn｜＝｜ｐｂn−ｑａn｜／ｑｂn

　しかし，ａn／ｂnはαとは一致しないので分子は１以上．したがって

　　｜α−ａn／ｂn｜≧１／ｑｂn

であるが，これが＜１／ｂn^2なのでｑ＞ｂnとなり矛盾．すなわち，αは有理数ではあり得ないことになる．

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【２】トゥエの定理

　リューヴィルは代数的数αの次数をｎ（≧２）とすると，

　　｜α−ｐ／ｑ｜＞１／ｑ^n

がすべての有理数ｐ／ｑに対して成り立つことを示した（リューヴィルの定理，１８４４年）．この指数を改良するために多くの研究がなされた．

　２０世紀にはいって，トゥエはリューヴィルの不等式を

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／ｑ^(1+n/2)

のように改良した（１９０８年）．

　αの次数をｎとすると，

　　ｋ≦ｎ／２＋１　　　（トゥエ，１９０８）

　　ｋ≦ｓ＋ｎ／（ｓ＋１）　（ｓ＝１，２，・・・，ｎ−１）　　　（ジーゲル，１９２１）

　　ｋ≦√２ｎ　　　（ダイソン，１９４７）　（ゲルファント，１９５２）

などの結果が知られている．

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【３】ロスの定理

　これらの結果はすべてαの次数ｎに関係した結果であったが，ジーゲルは実はｋ≦２であろうと予想した．彼の予想が正しいとすると，ディリクレの定理からｋ≧２であるから，合わせるとｋ＝２という結論を得ることができる．

　この予想は１９５５年，イギリスの数学者ロスによって証明された．

「無理数αが無限に多くの既約分数解｛ａn／ｂn｝をもてば，ｋ≦２が成立する．」

　つまり，ロスの定理は次数ｎ≧２の代数的数αは最良無理測度２をもつというもので，ディリクレに始まった無理数を有理数で近似する問題に関する決定的な結果（ｋ＝２）であって，ディオファントス近似に対する一応の終止符が打たれたことになる．この業績によりロスにはフィールズ賞が与えられることになった（１９５８年）

　　［参］平松豊一「初等数学アラベスク」牧野書店

によると，この証明は高度な数学理論を使わずとも可能なごく初等的なものであるそうである．いささかの感動をおぼえる話である．

　なお，リドゥやシュミットによるロスの定理の拡張もあるとのこと．リドゥ（１９５７年）はｐ，ｑの素因子に関するある制限のもとにｋの下限がより小さくできることを示した．シュミット（１９７１年）の拡張は部分空間定理と呼ばれるものである．

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【４】雑感

　ギリシア人は√２が有理数でないことを知って驚き，１９００年，ヒルベルトは２＾√２が超越数であるか否かを「数学の問題」として提示した．ロスの定理はそのひとつの著しい進展である．

　ところで，これとはまったく関係のない話であるが，たとえば

（Ｑ）１からｎまでの自然数の中で２の倍数でも３の倍数でもない数は何個あるか？

という問題を考えてみよう．

（Ａ）＃｛２の倍数または３の倍数｝＝＃｛２の倍数｝＋＃｛３の倍数｝−＃｛２の倍数かつ３の倍数｝

２と３の最小公倍数は６であるから，＃｛２の倍数かつ３の倍数｝＝＃｛６の倍数｝

これより，

　　ｎ−［ｎ／２］−［ｎ／３］＋［ｎ／６］

が答えになる．

　ここでは包除原理｛Ａ∪Ｂ｝＝｛Ａ｝＋｛Ｂ｝−｛Ａ∩Ｂ｝が用いられている．集合の数が多くなるとややこしくなるが，包除原理は一般的には

　　｛Ａ1∪・・・∪Ａn｝＝Σ｛Ａi｝−Σ｛Ａi∩Ａj｝＋Σ｛Ａi∩Ａj∩Ａk｝−・・・＋（−１）^(n-1)｛Ａ1∩・・・∩Ａn｝

と書くことができる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　ｎ−［ｎ／２］−［ｎ／３］＋［ｎ／６］

はガウス記号を使っているので一括りにすることはできないが，

　　ｎ（１−１／２）（１−１／３）

をみて，オイラー関数φ（ｎ）を想起された方も少なくないだろう．φ（ｎ）はｎと互いに素な自然数の個数として定義される．たとえば，

　　φ(2)=1,φ(3)=2,φ(4)=2,φ(5)=4,φ(6)=2,･･･

　φ（ｎ）の明示式は

　　φ（ｎ）＝ｎΠ（１−１／ｐi）　　　ｐiはすべての素因数をわたる

で与えられる．たとえば１１７６＝２^3・３・７^2より

　　φ（1176）＝1176(1-1/2)(1-1/3)(1-1/7)＝３３６

　包除原理はオイラー関数の明示式を示すためにも用いられる．すなわち，

　　φ（ｎ）＝ｎ−Σｎ／ｐi＋Σｎ／ｐiｐj−Σｎ／ｐiｐjｐk＋・・・＋（−１）^mΣｎ／ｐ1ｐ2・・・ｐm

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