連分数展開によって，黄金比と白銀比は

　　（１＋√５）／２＝［１；１，１，１，１，１，・・・］

　　√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］

のように，１や２が無限に繰り返されるという規則性を見ることができます．今回のコラムでは黄金比（１＋√５）／２と白銀比√２に関する雑多な問題を取り上げることにしたいと思います．

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【１】白銀比のディオファントス近似

　無理数を有理数で近似するには，連分数展開の近似分数を用いるべきであるということはよく知られています．ここでは，連分数展開と本質的には同等の√２に収束する数列を考えることにします．まず

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

　　（１−√２）^n＝ａn−ｂn√２

を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は

　　ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√２

ですから，√２に最も近い分数を与えることがわかります（最良近似）．

　　ａn+1＋ｂn+1√２＝（１＋√２）^n（ａn＋ｂn√２）

　　　　　　　　　　＝（ａn＋２ｂn）＋（ａn＋ｂn）√２

より

　　ａn+1＝ａn＋２ｂn，ｂn+1＝ａn＋ｂn

　　ａn+1＝ａn＋２ｂn＝ａn＋２（ａn-1＋ｂn-1）

　＝ａn＋ａn-1＋（ａn-1＋２ｂn-1）＝２ａn＋ａn-1

　　ｂn+1＝ａn＋ｂn＝（ａn-1＋２ｂn-1）＋ｂn

　＝（ａn-1＋ｂn-1）＋ｂn＋ｂn-1）＝２ｂn＋ｂn-1

より

　　ａn+1＝２ａn＋ａn-1，ｂn+1＝２ｂn＋ｂn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−２ｘ−１＝０の根１±√２として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

α＝１＋√２，β＝１−√２，初期値をａ1＝１，ａ2＝３とすると

　　ａn＝１／２｛（１＋√２）^n＋（１−√２）^n｝

　整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．

　　ｂn＝｛α^(n-1)（ｂ2−βｂ1）−β^(n-1)（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

初期値をｂ1＝１，ｂ2＝２とすると

　　ｂn＝１／２√２｛（１＋√２）^n−（１−√２）^n｝

　ここで，ｎ→∞のとき（１−√２）^n→０ですから

　　ａn／ｂn→　√２

となるのを確かめることができます．

　このとき，ａn，ｂnの値は

ｎ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９　　１０

ａn 1　 3 7 17 41 99 239 577 1393 1363

ｂn 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378

であり，その近似分数は1/1,3/2,7/4,17/12,41/29,･･･というわけですが，たとえば，すべての有理数

　　ｐ／ｑ　　（ｐ≦４１，ｑ≦２９）

の中で41/29=1.41379･･･が√２の最もよい近似値であるのです．

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［補］ｅの近似分数

　　ａn+1＝（４ｎ＋２）ａn＋ａn-1，ｂn+1＝（４ｎ＋２）ｂn＋ｂn-1

初期値をａ1＝１，ａ2＝３，ａ3＝１９，ｂ1＝１，ｂ2＝１，ｂ3＝７とすると

　　ａn／ｂn→　ｅ

となります．係数は整数ではありませんが，係数が次々に大きくなるので近似速度は速くなります．

ｎ　　１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６

ａn 3　 19 193 2721 49171 1084483

ｂn 1 7 71 1001 18089 398959

　円周率πについては22/7という近似分数が古くからよく知られていて，その上は355/113がよい精度をもっています．もうひとつの超越数の代表格である自然対数の底ｅの場合，これに相当するのは19/7,193/71ということになるのでしょう．

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【２】指数関数の分数関数近似

　ここで話は少し逸脱します．ピアノやオルガンのような鍵盤楽器では１オクターブの間を１２の音に分けていますが，転調のためには平均律，すなわち，１オクターブの音程を対数目盛を用いて１２等分しています．

　　ｒ＝12√２=1.059463094

としてf(x)＝１，ｒ，ｒ^2，・・・，ｒ^11，２＝２^xですが，この指数関数を分数関数

　　Ｌ(x)＝（αｘ＋β）／（γｘ＋δ）　　　x=1,1/12,･･･,11/12,2

で近似することを考えます．

　f(0)=1,f(1/2)=√2,f(1)=2ですからL(0)=1,L(1/2)=√2,L(1)=2を満たすようにα，β，γ，δを定めると

　　Ｌ(x)＝（２ｘ＋√２（１−ｘ））／（ｘ＋√２（１−ｘ））

が補間関数となります．

　ここで√２が出てきましたが，たとえば，これを前述の41/29で置き換えてみると

　（４１＋１７ｘ）／（４１−１２ｘ）

がよい分数関数近似式になっていることがわかります．

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【３】フィボナッチ擬素数

　初項１，第２項１から始まり，隣り合う２項の和が次の項となる数列

　　１，１，２，３，５，８，１３，２１，・・・

をフィボナッチ数列とよびます．その一般項Ｆn は

　　Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2

です．

　初項１，第２項３のフィボナッチ数列

　　１，３，４，７，１１，１８，２７，４７，・・・

はリュカ数列と呼ばれています．

　　Ｌn＝Ｌn-1＋Ｌn-2

　フィボナッチ数列やリュカ数列の一般項は，３項漸化式：

　　Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2

　　Ｌn＝Ｌn-1＋Ｌn-2

の特性方程式

　　ｘ^2−ｘ−１＝０

の２つの解

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２

を用いて，

　　Ｘn＝Ａα^n＋Ｂβ^n

の形に書くことができます．定数Ａ，Ｂは初期値から定められます．

　　Ｌn＝α^n＋β^n

　　Ｆn＝１／√５（α^n−β^n）

　　Ｌn＝２Ｆn-1＋Ｆn＝−Ｆn＋２Ｆn+1＝Ｆn-1＋Ｆn+1

　｜β｜＜１ですから，リュカ数列もフィボナッチ数列もｎを大きくすれば連続する２項の比は黄金比

　　φ＝（１＋√５）／２＝１．６１８０３４・・・

に次第に近づくことになります．

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　素数の添字をもつリュカ数について

　　Ｌ3＝４＝１(mod 3)，Ｌ5＝１１＝１(mod 5)，Ｌ7＝２９＝１(mod 7)

が確かめられますが，これらは偶然ではなくて，ｐが素数ならば

　　Ｌp＝１(mod p)

が成り立ちます．

　しかし，逆命題「Ｌnがｎで割り切れるときｎは素数である」は必ずしも成り立たないことが知られています．

　　Ｌn＝１(mod n)

が成り立つ合成数はフィボナッチ擬素数として知られています．その最小の反例は７０５＝３・５・４７です．

　なお，フェルマーの小定理により，ｐが素数ならば

　　２^(p-1)＝１(mod p)

ですが，この逆は正しくありません．最小のオイラー擬素数は３４１＝１１・３１です．

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【４】リュカ数列と素数判定法

　２^n−１の形の数が素数であるためにはｎが素数であることが必要条件です．一方，２^n＋１の形が素数であるためにはｎ＝２^mの形であることが必要です．しかし，このことは十分条件ではなく，指数ｎがどんな数のとき２^n−１，２^n＋１が素数になるかはいまだに解決されていません．

　添字に２^nをもつリュカ数列｛Ｌ2^n｝，すなわち，３，７，４７，２２０７，４８７０８４７，・・・では，漸化式Ｌ2^(n+1)＝（Ｌ2^n）^2−２が成り立ちますが，この漸化式とフェルマーの小定理（１６４０年）

　　「もしｐが素数であれば，任意の整数ａに関してａ^p−ａはｐの倍数である．」を応用した素数判定法がリュカテストです．

　リュカはフィボナッチ数列，リュカ数列を用いてメルセンヌ数（２^n−１）が素数であるかどうかを判定し，（２^127−１）が素数であることを示しています（１８７６年）．この数は１２番目のメルセンヌ素数で，１９５２年の１３番目（２^521−１）からはコンピュータによる発見ですから，コンピュータを使わずに見つけられた最大のメルセンヌ素数になっていて，わかっている最大の素数として最長不倒記録を保ち続けました．

　１９９４年，アメリカのスーパーコンピュータ，クレイによって発見された２５８７１６桁の巨大な素数（２^859433−１）は現在知られている最大の素数（３３番目のメルセンヌ素数）ですが，リュカテストはメルセンヌ数が素数であるか否か判定する非常に能率的なアルゴリズムとなっていて，リュカテストの効率のよさのおかげで最近の素数の世界記録はすべてメルセンヌ素数が独占しています．

　なお，フェルマー数（２^(2^n)＋１）に対してはリュカテストと同じくらい能率的なペパンの素数判定法があり，コンピュータを使って６番目のフェルマー素数の探索が続けられているのですが，はたして本当に存在するのでしょうか？

　リュカやペパンの素数判定法によってある数が合成数とわかってもそれを素因数分解するのはとても大変な作業になります．現在，巨大な整数の素因数分解に楕円曲線法とか平方ふるい法とか能率のよい素因数分解法が考え出されています．

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【５】レイリーの定理

　「α，βを１／α＋１／β＝１を満たす無理数，［］をガウス記号とするとき，２つの数列｛［αｎ］｝，｛［βｎ］｝は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与える．」

　レイリーは数列の任意の連続する２項の間には必ずもう一つの数列の項が入り込むことを発見したのです．とくに

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（３＋√５）／２＝α＋１＝α^2

ならば，

　　［βｎ］＝［α［αｎ］］＋１

　　［α［βｎ］］＝［αｎ］＋［βｎ］

を満たします．

　逆に，

　　［βｎ］＝［α［αｎ］］＋１

　　［α［βｎ］］＝［αｎ］＋［βｎ］

を満たすならば，

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（３＋√５）／２＝α＋１＝α^2

となります．

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