【１】πの積分近似

　π＝３．１４１５９２６５３５８９・・・の近似値として有名なのが

　　２２／７＝３．１４２８５７１４２８５７・・・

　　３５５／１１３＝３．１４１５９２９２０３５３・・・

である．前者は６桁で循環，後者は１１２桁で循環するが，πは無理数なので同じ数字の列が循環することはない．

　１９４４年，ダルゼルがπと２２／７を結びつける積分

　　∫(0,1)ｘ^4（１−ｘ）^4／（１＋ｘ^2）ｄｘ＝２２／７−π

という面白い公式を発見した．左辺の表現に対称性が見事である．

　　ｘ^4（１−ｘ）^4／（１＋ｘ^2）＝ｘ^6−４ｘ^5＋５ｘ^4−４ｘ^2＋４−４／（１＋ｘ^2）

　　∫(0,1)（ｘ^6−４ｘ^5＋５ｘ^4−４ｘ^2＋４）ｄｘ＝２２／７

　　∫(0,1)４／（１＋ｘ^2）＝π

　さらに，２００５年，ルーカスがπと３５５／１１３を結びつける積分

　　∫(0,1)ｘ^8（１−ｘ）^8（２５＋８１６ｘ^2）／３１６４（１＋ｘ^2）ｄｘ＝３５５／１１３−π

を見つけた．

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　ところで，

　　［参］中村滋「円周率，歴史と数理」共立出版

に

　　∫(0,1)１６（ｘ−１）／（ｘ^4−２ｘ^3＋４ｘ−４）ｄｘ＝π

という問題が掲げられている．この問題を紹介したい．

　　１６（ｘ−１）／（ｘ^4−２ｘ^3＋４ｘ−４）

　＝４ｘ／（ｘ^2−２）−４ｘ／（ｘ^2−２ｘ＋２）＋４／（ｘ^2−２ｘ＋２）

　　∫４ｘ／（ｘ^2−２）ｄｘ＝２ｌｏｇ（ｘ^2−２）

　　∫４ｘ／（ｘ^2−２ｘ＋２）＝２ｌｏｇ（ｘ^2−２ｘ＋２）

　　∫４／（ｘ^2−２ｘ＋２）＝４ａｒｃｔａｎ（ｘ−１）

なので，

　　∫(0,1)１６（ｘ−１）／（ｘ^4−２ｘ^3＋４ｘ−４）ｄｘ＝π

が確かめられる．

　面白いのはこれからである．

　　１６（ｘ−１）／（ｘ^4−２ｘ^3＋４ｘ−４）

　＝１６（ｘ^5＋ｘ^4＋２ｘ^3−４）／（ｘ^8−１６）

したがって，

　　∫(0,1)１６（ｘ^5＋ｘ^4＋２ｘ^3−４）／（ｘ^8−１６）ｄｘ＝π

であるが，この問題の由来はＢＢＰ公式にある．

［１］ＢＢＰ公式（１９９７年）

　　π＝Σ１／１６^n｛４／（８ｎ＋１）−２／（８ｎ＋４）−１／（８ｎ＋５）−１／（８ｎ＋６）｝

　コンピュータを使って発見された異色の式である．この公式の不思議な点は円周率を１６進法で表すとき，任意の桁（たとえば１０００桁目）を直接計算できるるという点である．

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　０＜ｔ＜１のとき，

　　１／（１−ｔ^8）＝Σｔ^8

　また，

　　Ｉk＝∫(0,1/√2)ｔ^k-1／（１−ｔ^8）ｄｔ

＝∫(0,1/√2)Σｔ^k+8n-1ｄｔ

＝Σ∫(0,1/√2)Σｔ^k+8n-1ｄｔ

＝Σｔ^k+8n／（ｋ＋８ｎ）

＝１／２^k/2Σ（１／１６^n・１／（８ｎ＋ｋ）

　ＢＢＰ公式は

　　Σ１／１６^n｛４／（８ｎ＋１）−２／（８ｎ＋４）−１／（８ｎ＋５）−１／（８ｎ＋６）｝

＝４√２Ｉ1−８Ｉ4−４√２Ｉ5−８Ｉ8

＝∫(0,1/√2)（４√２−８ｔ^3−４√２ｔ^4−８ｔ^8）／（１−ｔ^8）ｄｔ

＝∫(0,1)１６（ｘ^5＋ｘ^4＋２ｘ^3−４）／（ｘ^8−１６）ｄｘ

＝∫(0,1)１６（ｘ−１）／（ｘ^4−２ｘ^3＋４ｘ−４）ｄｘ＝π

＝π

となるというわけである．

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