クラトウスキーの定理を使うと４色定理は

　「Ｋ3,3とＫ5をマイナーとして含まないグラフは，頂点を４色で彩色することが可能である．」と言い換えることができる．実際，トーラス面上の地図の塗り分けには７色必要な場合がある．

　　［参］前原潤，桑田孝泰「絵ときトポロジー，曲面の形」共立出版

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【１】トーラス面上の地図の彩色

　平面や球面上に描かれた地図に関するオイラーの公式は

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

でしたが，トーラス上の地図に関するオイラーの公式は

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝０

です．

　トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることを証明するために，どの領域も少なくとも７つの領域で囲まれていると仮定すると

　　７ｆ≦２ｅ

また，３ｖ≦２ｅですから

　　ｖ−ｅ＋ｆ≦２／７ｅ−ｅ＋２／３ｅ＝−１／２１ｅ≠０

という矛盾を引き出すことができます．

　したがって，トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになります．このことを利用すると，

　　「トーラス上のどんな地図でも７色で塗り分けられる」

ことが証明されます．ヒーウッドは実際に７色を必要とする例もあげています．

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