（その４）を補足しておきたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】保型形式とラマヌジャンの愛した和

　ラマヌジャンは

　　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

　　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

　　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

　　Σ1/n{exp(2πn)-1}=-π/12-1/2log(ω/√2π)

も証明している．

　ここで，πとωはそれぞれ，

　　π＝2∫(0,1)1/√(1-x^2)dx=3.14159･･･（円周率）

　　ω＝2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx=2.62205･･･（レムニスケート周率）

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

　ガウスの算術幾何平均

　　Ｍ（ａ，ｂ）＝π/2／∫(0,π/2)ｄθ/(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)^(1/2)

より

　　Ｍ（√2，１）＝π／ω

また，レルヒの公式

　　Δ(i)＝（ω／π√2）^12＝Γ^24(1/4)／２^24π^18

　　Ｅ4(i)＝３（ω／π）^4＝３Γ^8(1/4)／６４π^6

もこの兄弟分にあたる．

　それではどうやってこれらの級数を証明したらいいのだろうか？　杉岡幹生氏に教えてもらったのだが，アイゼンシュタイン級数

　　Ｅ6　→　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

　　Ｅ2　→　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

　　Ｅ4，ラマヌジャンのΔ　→　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

を用いればこれらを証明できるということであった．

　とはいえ自力では証明できなかったので，

　　［参］黒川信重・栗原将人・斉藤毅「数論�U，Fermatの夢と類体論」岩波書店

からの受け売りの証明を記しておく．

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)　　（双対性）

にｚ＝ｉを代入すると−１／ｉ＝ｉになることを利用するのである．

　　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

（証）Ｅ6(-1/z)＝z^6Ｅ6(z)にｚ＝ｉを代入すると，Ｅ6(i)＝i^6Ｅ6(i)＝−Ｅ6(i)よりＥ6(i)=0

　　Ｅ6(i)＝１−５０４Σσ5(n)ｅｘｐ(-2πn)＝１−５０４Σn^5/{exp(2πn)-1}

　　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

（証）Ｅ2(-1/z)＝z^2Ｅ2(z)+6z/πiにｚ＝ｉを代入すると，Ｅ2(i)＝-Ｅ2(i)+6/πよりＥ2(i)=3/π

　　Σσ(n)ｅｘｐ(-2πn)＝Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

　　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

（証）レルヒの公式より，Ｅ4(i)＝３（ω／π）^4

　　Ｅ4(i)＝１＋２４０Σσ3(n)ｅｘｐ(-2πn)＝１＋２４０Σn^5/{exp(2πn)-1}

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ラマヌジャンの等式の近似値

　　ζ(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)x^(s-1)/{exp(x)-1}dx

において，ｘ＝２πｙとおくと，ｄｘ＝２πｄｙより，

　　∫(0,∞)y^(s-1)/{exp(2πy)-1}dy=ζ(s)Γ(s)/(2π)^s

　これより，

　　Σn^(s-1)/{exp(2πn)-1}　〜　 ζ(s)Γ(s)/(2π)^s

ここで，ζ(2)=π^2/6，ζ(4)=π^4/90，ζ(6)=π^6/945を代入すると，

　　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504　〜　1/504

　　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240　〜　1/240

　　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π　〜　1/24

　　Bose-Einstein統計　→　ζ(x)=1/Γ(x)∫(0,∞)t^(x-1)/(exp(t)-1)dt

と同様に，

　　Fermi-Dirac統計　→　ζ(x)=1/(1-2^(1-x))Γ(x)∫(0,∞)t^(x-1)/(exp(t)+1)dt

　　Maxwell-Boltzmann統計　→　Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt

が対応すると見ることができる．

　　Σn^(s-1)/{exp(2πn)+1}　〜　 ζ(s)Γ(s)(1-2^(1-s))/(2π)^s

　　Σn^(s-1)/{exp(2πn)}　〜　 Γ(s)/(2π)^s

したがって，

　　Σn^5/{exp(2πn)+1}　〜　(1-2^(-5))/504=31/(32･504)

　　Σn^3/{exp(2πn)+1}　〜　(1-2^(-3))/240=7/(8･240)

　　Σn/{exp(2πn)+1}=1/24-1/8π　〜　(1-2^(-1))/24=1/(2･24)

　　Σn^5/{exp(2πn)}　〜　6!/(2π)^6=45/(4π^6)

　　Σn^3/{exp(2πn)}　〜　4!/(2π)^4=3/(2π^4)

　　Σn/{exp(2πn)}　〜　2!/(2π)^2=1/(2π^2)

　実は，

　　Σn^k/{exp(2πn)}=?

については近似値を求める必要はなく，

　　Σ1/n{exp(2πn)}=-log(1-exp(-2π))

　　Σ1/{exp(2πn)}=1/(exp(2π)-1)

　　Σn/{exp(2πn)}=exp(2π)/(exp(2π)-1)^2

　　Σn^2/{exp(2πn)}=exp(2π)(exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^3

　　Σn^3/{exp(2πn)}=exp(2π)((exp(4π)+4exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^4

　　Σn^4/{exp(2πn)}=exp(2π)((exp(6π)+11exp(4π)+11exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^5

　　Σn^5/{exp(2πn)}=exp(2π)((exp(8π)+26exp(6π)+66exp(4π)+26exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^6

などと計算されます．

　ｋ＜−１の場合は，ポリログ関数が出現します．

　　Σ1/n^2{exp(2πn)}=polylog(2,exp(-2π))=L2(exp(-2π))

　　Σ1/n^3{exp(2πn)}=polylog(3,exp(-2π))=L3(exp(-2π))

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝