空間充填１８面体は，頂点の座標のみならず，体積に関しても整数多面体であった．それでは，切頂八面体もそうなのだろうか？

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　切頂八面体の頂点を格子点におく．２４個の格子点は（±０，±１，±２）の置換になる．このとき，辺の長さは√２である．

　一方，１辺の長さが１の平行多面体の体積は

　立方体：　１

　正六角柱：　３√３／２

　切頂八面体：　８√２

　菱形十二面体：　１６√３／９

　長菱形十二面体：　１６√３／９＋８／３

となる．

　したがって，辺の長さ√２の切頂八面体の体積は

　　Ｖ＝８√２・（√２）^3＝３２

　切頂八面体も体積に関して整数多面体であったというわけである．

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　菱形十二面体の頂点を格子点におく．６個の格子点は（±２，０，０２），８個の格子点は（±１，±１，±１）の置換になる．このとき，辺の長さは√３である．

　したがって，辺の長さ√３の切頂八面体の体積は

　　Ｖ＝１６√３／９・（√３）^3＝１６

　菱形十二面体も体積に関して整数多面体であったというわけである．

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