［Ｑ］空間充填１８面体の体積を求めよ．

　角錐分解公式は

　　ｖｏｌ（Ｐ）＝ΣＮjｈj／ｎ・Ｖn-1(j)

で与えられる．角錐分解によって計算してみよう．

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　２つのベクトルａ↑，ｂ↑を基底とする平行体（平行四辺形）の面積は，外積は

　　ａ↑×ｂ↑

３つのベクトルａ↑，ｂ↑，ｃ↑を基底とする平行体（平行六面体）の体積は，スカラー三重積

　　（ａ↑×ｂ↑）・ｃ↑

すなわち，外積ａ↑×ｂ↑とベクトルｃ↑の内積で与えられます．

　｜ａ↑｜＝ａ，｜ｂ↑｜＝ｂとすれば，平行四辺形の面積は，

　　Ｓ＝ａｂｓｉｎθ

ですから，

　　Ｓ^2＝ａ^2ｂ^2（１−ｃｏｓ^2θ）

　　　　＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2

　　　　＝｜ａ↑・ａ↑　　ａ↑・ｂ↑｜

　　　　　｜ｂ↑・ａ↑　　ｂ↑・ｂ↑｜

　同様に，平行六面体の体積は

　　Ｖ^2＝｜ａ↑・ａ↑　　ａ↑・ｂ↑　　ａ↑・ｃ↑｜

　　　　　｜ｂ↑・ａ↑　　ｂ↑・ｂ↑　　ｂ↑・ｃ↑｜

　　　　　｜ｃ↑・ａ↑　　ｃ↑・ｂ↑　　ｃ↑・ｃ↑｜

で与えられます．

　これらのように，内積の行列式で定義される行列式をグラムの行列式（グラミアン）といいます．平行体の面積・体積はグラミアンの平方根に等しくなるというわけです．

　また，座標を使って表せば，ｎ＋１個の点の座標に（１，１，１，・・・，１）を加えて作られる（ｎ＋１）次の行列式の絶対値になります．

　　｜Ｓ｜＝｜１　ｘ1　ｙ1｜　　　｜Ｖ｜＝｜１　ｘ1　ｙ1　ｚ1｜

　　　　　　｜１　ｘ2　ｙ2｜　　　　　　　｜１　ｘ2　ｙ2　ｚ2｜

　　　　　　｜１　ｘ3　ｙ3｜　　　　　　　｜１　ｘ3　ｙ3　ｚ3｜

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜１　ｘ4　ｙ4　ｚ4｜

　原点が含まれるときは，

　　｜Ｓ｜＝｜ｘ1　ｙ1｜　　　｜Ｖ｜＝｜ｘ1　ｙ1　ｚ1｜

　　　　　　｜ｘ2　ｙ2｜　　　　　　　｜ｘ2　ｙ2　ｚ2｜

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ｘ3　ｙ3　ｚ3｜

のように展開されます．

　なお，これらはそれぞれｎ次元単体の体積のｎ！倍になりますから，三角形面積，四面体の体積は，

　　Ｓ’＝Ｓ／２

　　Ｖ’＝Ｖ／６

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　３次元空間内の３点Ｐ（ｘ0，ｙ0，ｚ0），Ｑ（ｘ1，ｙ1，ｚ1），Ｒ（ｘ2，ｙ2，ｚ2）が与えられた場合，

　　ａ＝（ｘ1−ｘ0，ｙ1−ｙ0，ｚ1−ｚ0）

　　ｂ＝（ｘ2−ｘ0，ｙ2−ｙ0，ｚ2−ｚ0）

　　Ｓ^2＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2

＝｛（ｘ1−ｘ0）^2＋（ｙ1−ｙ0）^2＋（ｚ1−ｚ0）^2｝｛（ｘ2−ｘ0）^2＋（ｙ2−ｙ0）^2＋（ｚ2−ｚ0）^2｝−｛（ｘ1−ｘ0）（ｘ2−ｘ0）＋（ｙ1−ｘ0）（ｙ2−ｙ0）＋（ｘ1−ｘ0）（ｘ2−ｘ0）｝^2

＝｛（ｘ1−ｘ0）（ｙ2−ｙ0）−（ｙ1−ｙ0）（ｘ2−ｘ0）｝^2＋｛（ｙ1−ｙ0）（ｚ2−ｚ0）−（ｚ1−ｚ0）（ｙ2−ｙ0）｝^2＋｛（ｚ1−ｚ0）（ｘ2−ｘ0）−（ｘ1−ｘ0）（ｚ2−ｚ0）｝^2

＝｜（ｘ1−ｘ0），（ｙ1−ｙ0）｜^2＋｜（ｙ1−ｙ0），（ｚ1−ｚ0）｜^2＋

　｜（ｘ2−ｘ0），（ｙ2−ｙ0）｜ ｜（ｙ2−ｙ0），（ｚ2−ｚ0）｜

｜（ｚ1−ｚ0），（ｘ1−ｘ0）｜^2

｜（ｚ2−ｚ0），（ｘ2−ｘ0）｜

となる．

　△ＰＱＲの面積はＳ／２であるが，２次元の場合の

　　｜Ｓ｜＝｜ｘ1　ｙ1｜

　　　　　　｜ｘ2　ｙ2｜

と比べると，次元がひとつあがっただけで計算量は３倍に増えたことになる．

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［１］四角形面

　面積を三角形分割によって求めると

　　Ｓ’^2＝２^5・３^2・７→Ｓ’＝１２√１４

　　Ｓ’^2＝２^5・３^2・５^2・７＝６０√１４

　中心から四角形面までの距離＝１５√１４

　１２面あるから

　　７２√１４・１５√１４・１２／３＝６０４８０

［２］八角形面

　面積を三角形分割によって求めると

　　Ｓ’^2＝２^5・３^5→Ｓ’＝３６√６

　　Ｓ’^2＝２^5・３^3・５^2＝６０√６

　　Ｓ’^2＝２^5・３^5・７^2→Ｓ’＝２５２√６

　　Ｓ’^2＝２^7・３^3・１３^2＝３１２√６

　　Ｓ’^2＝２^7・３^5・７^2→Ｓ’＝５０４√６

　　Ｓ’^2＝２^5・３^5・５^4＝９００√６

　中心から四角形面までの距離＝１５√６

　６面あるから

　　２０６４√６・１５√６・６／３＝３７１５２０

［Ａ］Ｖ＝４３２０００

　空間充填１８面体は体積に関しても整数多面体であったというわけである．

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