アイゼンシュタイン級数を

　　Ｅk(τ)＝ζ（１−ｋ）／２＋Σσk-1（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎτ）

と定義する．

　ｋが４以上のとき，Ｅk(τ)はモジュラー群ＳＬ2(z)に対する保型形式となっている．

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)　　（双対性）

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【１】ラマヌジャンの和

　ラマヌジャンは

　　Σｎ^5／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）＝１／５０４

を発見したが，それは

　　Ｅ6(τ)＝ζ（−５）／２＋Σσ5（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎτ）

＝−１／５０４＋Σσ5（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎτ）

から証明することができる．

（証）

　　Ｅ6(-1/z)＝z^6Ｅ6(z)

ｚ＝ｉとすると

　　Ｅ6(ｉ)＝−Ｅ6(ｉ)　→　Ｅ6(ｉ)＝０

　　Σσ5（ｎ）ｅｘｐ（−２πｎ）＝１／５０４

　ここで，

　　Σσ5（ｎ）ｅｘｐ（−２πｎ）＝ΣΣｍ^5ｅｘｐ（−２πｎ）

＝Σｎ^5／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）＝１／５０４

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　Σｎ／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）＝１／２４−１／８π

（証）ｋ＝２のとき

　　Ｅ2(τ)＝ζ（−１）／２＋Σσ（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎτ）

＝−１／２４＋Σσ（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎτ）

　　Ｅ2(-1/z)＝z^2Ｅ2(z)

は成り立たないが，

　　Ｅ2(-1/z)＝z^2Ｅ2(z)-z/4πi

が知られている．

ｚ＝ｉとすると

　　Ｅ2(ｉ)＝−Ｅ2(ｉ)−１／４π　→　Ｅ2(ｉ)＝−１／８π

　　Σσ5（ｎ）ｅｘｐ（−２πｎ）＝１／５０４

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【２】おまけ

　　Γ（ｘ）Γ（１−ｘ）＝π／ｓｉｎ（πｘ）

　　Γ（１−ｘ）／√（２π）＝（Γ（ｘ）／√（２π））^-1（２ｓｉｎπｘ）^-1

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