そろそろネタ切れで，「閑話休題」を持続させるのに四苦八苦の状況に追い込まれてきた．畏友・大平徹氏によると，このようなときこそ数をネタにするのがよいという．というわけで，今回のコラムでは無理性・超越性などに関係する雑多な問題を取り上げることにした．
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【１】１０を原始根とする素数
整数同士の割り算では割り切れるものもありますが，割り切れない場合は定まった数列が繰り返し現れます（循環小数）．循環節の長さは１桁のときもありますが，たとえば，ｐを素数として１／ｐを循環小数にしたときの循環節の長さｍは１が余りに現れるまでの長さであって、１０^m−１がｐで割り切れるような最小のｍで，ｐ−１の約数となることが知られています．（フェルマーの小定理より１０^(p-1)は必ずｐで割り切れる．したがってｍは必ずｐ−１で割り切れる．）
ｐ＝７，１７などはちょうどｍ＝ｐ−１です．
１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・
（循環節：１４２７５８の長さ６）
１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・
（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６）
このように，１／ｐを１０進法で小数展開したときの循環節の長さがｐ−１となる特別な素数を１０を原始根とする素数といいます．１０を原始根とする素数，たとえば，
７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・
の密度について，アルティンは
π10（ｘ）=Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）
と予想しています．ただし，ｐを素数として，Ｃは
Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）
もし，これが正しいとすれば，このような素数は無限にあり，素数全体のうち約３／８を占めることになるのですが，残念ながら証明されていません．しかしながら，リーマン予想：ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にある：が正しいと仮定するとアルティン予想の成り立つことが証明できることがわかっています．
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【２】平方根と連分数展開
連分数とは，
ａ1／（ｂ1＋ａ2／（ｂ2＋ａ3／（ｂ3＋ａ4／（ｂ4＋ａ5／ｂ5＋・・・）
のような分数を続けた式で，実用上は最初にａ0＋をつけた形が使われます．整数論で使われる連分数は普通，ａk＝１，ｂkが正の整数である標準連分数です．
連分数展開によって
（１＋√５）／２＝［１；１，１，１，１，１，・・・］
√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］
のように，１や２が無限に繰り返されるという規則性を見ることができます．
√３＝［１；１，２，１，２，１，２，・・・］
では交互に１，２が現れる循環連分数となります．以下，
√５＝［２；４，４，４，・・・］
√６＝［２；２，４，２，４，２，・・・］
√７＝［２；１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］
一般に，√ｍの連分数展開は循環連分数となり周期性が証明されます．これは既約分数の小数展開が循環小数になることと対比するとおもしろい事実です．
その際，
√ｍ＝［ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・・，ｑn-1，２ｑ0，・・・］
という周期ｎの連分数展開が得られます．
√２＝［１；２，・・・］
√３＝［１；１，２，・・・］
√５＝［２；４，・・・］
√６＝［２；２，４，・・・］
√７＝［２；１，１，１，４，・・・］
すなわち，どの循環節もｑn＝２ｑ0＝［２√ｍ］で終わっています．
たとえば，√１９９の展開
√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］
をみると，１４で始まり２８で終わるというのもこの理由によります．
このように，標準無限連分数のうち，部分分母列のあるところから先が巡回的になる循環連分数は２次の無理数（整数係数の２次方程式の解として表される数）に収束します．この性質により，整数項の標準連分数はいわゆるペル方程式：ｘ^2−ｍｙ^2＝ｄ（多くは±１，±４）の解法など整数論の分野で活用されます．
また，√１９９の循環節の最後の２８を除くと１３を中心として対称になっていることにも気付かされます．
√４３＝［６；１，１，３，１，５，１，３，１，１，１２，・・・］
√５４＝［７；２，１，６，１，２，１４，・・・］
√７６＝［８；１，２，１，１，５，４，５，１，１，２，１，１６，・・・］
√９４＝［９；１，２，３，１，１，５，１，８，１，５，１，１，３，２，１，１８，・・・］
√１０００＝［３１；１，１，１，１，１，６，２，２，１５，２，２，６，１，１，１，１，１，６２，・・・］
循環部の最後の項を除いた部分は回文（前から読んでも後から読んでも同じ）になっているという事実も，１９９のみならず，２次の無理数√ｍに共通していえる性質です．
√ｍ＝［ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・，ｑ2，ｑ1，２ｑ0，・・・］
なお，２次の無理数には循環連分数が対応しますが，連分数による実数の最良近似は解を下方と上方から近似していく方法であって，ユークリッドの互除法に直結しています．
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以上のことから，最も素朴な循環連分数は
√ｍ=［ｑ0；２ｑ0，２ｑ0，２ｑ0，・・・］
で表されるものと考えられます．
このとき，
Ｐ＝２ｑ0^2＋１，Ｑ＝２ｑ0
より，ｍは
（２ｑ0^2＋１）^2−ｍ・４ｑ0^2＝±１
を満たす整数となるのですが，結局，このようなｍは
ｍ＝ｑ0^2＋１＝２，５，１０，・・・
となることが導き出されます．
√２＝［１；２，２，２，・・・］
√５＝［２；４，４，４，・・・］
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［補］ｅとπの連分数展開
超越数ｅの連分数展開は，
ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，１，８，１，１，１０，１，１，１２，１，１，１４，１，１，１６，・・・］
と書け，数字の出方が自然数順になっていることがわかります．すなわち，２次の無理数のように規則的になっているわけですが，ｅのように超幾何関数の特殊値は３次の無理数よりも，２次の無理数に近いということなのでしょうか？
ｅもπも超越数ですが，しかし，πの連分数展開
π＝［３；７，１５，１，２９２，１，１，１，２，１，３，１，１４，２，１，１，２，２，２，２，１，８４，２，１，１，１５，３，１３，１，４，２，６，６，９９，１，２，２，６，３，５，１，１，６，・・・］
にはなんの規則性も見あたらないようにみえます．πに現れる数字０〜９については，重複対数の法則と呼ばれるランダムウォークに基づく非常に厳しいランダムネス検定にも十分合格することが確かめられています．πには少なくとも何進法かの表現の下でなにか隠された未発見の規則性があるに違いないと信じている人もいますが，現在のところ，πは最も複雑な数なのです．
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【３】平方根のディオファントス近似
ａがｘ^2＝２の解ならばａ＝２／ａが成り立ちます．ａがいくらか不正確，たとえば過小評価であるならば，２／ａは過大評価となります．過小評価と過大評価の中間（算術平均）はａと２／ａのいずれよりもよい評価となります．
かくして算術平均：
ａn+1=1/2(ａn＋２／ａn)
によって定義される数列は√２に収束することになります．この場合，２の平方根をニュートン法x:=x-f(x)/f'(x)で求めるのと同じことになります．ニュートン法の幾何学的意味は「初期値ｘ0における関数の勾配を求めて，接線とｘ軸の交点を求める．この点において，同様の作業を行うとｘは順次解に近づいていく．」と解釈されます．
ここでは，これとは別の√２に収束する数列を考えることにします．まず
（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２
（１−√２）^n＝ａn−ｂn√２
を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は
ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n
となる関係式で結ばれていて，
ａn／ｂn→ √２
ですから，√２に最も近い分数を与えることがわかります（最良近似）．
ａn+1＋ｂn+1√２＝（１＋√２）^n（ａn＋ｂn√２）
＝（ａn＋２ｂn）＋（ａn＋ｂn）√２
より
ａn+1＝ａn＋２ｂn，ｂn+1＝ａn＋ｂn
ａn+1＝ａn＋２ｂn＝ａn＋２（ａn-1＋ｂn-1）
＝ａn＋ａn-1＋（ａn-1＋２ｂn-1）＝２ａn＋ａn-1
ｂn+1＝ａn＋ｂn＝（ａn-1＋２ｂn-1）＋ｂn
＝（ａn-1＋ｂn-1）＋ｂn＋ｂn-1）＝２ｂn＋ｂn-1
より
ａn+1＝２ａn＋ａn-1，ｂn+1＝２ｂn＋ｂn-1
α，βを２次方程式ｘ^2−２ｘ−１＝０の根１±√２として，
ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）
α，βを入れ替えると
ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）
ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）
したがって，整数列｛ａn｝の一般項は
ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）
α＝１＋√２，β＝１−√２，初期値をａ1＝１，ａ2＝３とすると
ａn＝１／２｛（１＋√２）^n＋（１−√２）^n｝
整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．
ｂn＝｛α^(n-1)（ｂ2−βｂ1）−β^(n-1)（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）
初期値をｂ1＝１，ｂ2＝２とすると
ｂn＝１／２√２｛（１＋√２）^n−（１−√２）^n｝
ここで，ｎ→∞のとき（１−√２）^n→０ですから
ａn／ｂn→ √２
となるのを確かめることができます．
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同様にして，√３の最良近似では
（２＋√３）^n＝ａn＋ｂn√３
（２−√３）^n＝ａn−ｂn√３
より
ａn+1＝４ａn−ａn-1，ｂn+1＝４ｂn−ｂn-1
α，βを２次方程式ｘ^2−４ｘ＋１＝０の根２±√３として，初期値をａ1＝１，ａ2＝２，ａ3＝７，ｂ1＝０，ｂ2＝１，ｂ3＝４とすると
ａn／ｂn→ √３
となります．
近似分数列｛ａn／ｂn｝で非常によく近似できる実数αについて
｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2
が成立するならば，αは無理数です（ディリクレの定理）．
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［補］ｅの近似分数
ａn+1＝（４ｎ＋２）ａn＋ａn-1，ｂn+1＝（４ｎ＋２）ｂn＋ｂn-1
初期値をａ1＝１，ａ2＝３，ａ3＝１９，ｂ1＝１，ｂ2＝１，ｂ3＝７とすると
ａn／ｂn→ ｅ
となります．係数は整数ではありませんが，係数が次々に大きくなるので近似速度は速くなります．
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【４】ペル方程式の解法
ところで，前節において１＋√２や２＋√３は何を意味しているのでしょうか？
ｍを平方数でない自然数とすると，いわゆるペル方程式とは
ｘ^2−ｍｙ^2＝±１
で表されるものです．
ペル方程式の自然数解を求めることはそれほどやさしくはありません．たとえば，
ｘ^2−１９９ｙ^2＝±１
の解を求めようと思ってもなかなか見つかりません．それもそのはずで，この最小解は
（１６２６６１９６５２０，１１５３０８００９９）
のようにとても大きなものになってしまいます．これではいくら式を眺めたところでわからないのは無理もありません．
この解を合理的に出すには，√１９９の連分数展開
√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］
を用います．９〜２８は循環節（周期２０）です．
このペル方程式は，実２次体Ｑ（√１９９）と関係しているのですが，ｘ^2−ｍ＝０の根√ｍを添加して得られる体Ｑ（√ｍ）の元は一意的に
ａ＋ｂ√ｍ
の形で表されます．そして，一般に０，１以外の平方因数をもたない整数ｍ，
−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，・・・
によって，Ｑ（√ｍ）は体になります．
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［１］基本単数
まず最初に，実２次体Ｑ（√ｍ）の基本単数について説明することから始めたいと思います．Ｑ（√ｍ）を２次体とするとき，ａ＋ｂ√ｍの共役をａ−ｂ√ｍで表します（ｍ＜０ならば通常の複素共役である）．このとき，その標準底は
ω＝√ｍ ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）
ω＝（１＋√ｍ）／２ ｍ＝１（ｍｏｄ４）
で与えられます．
そして，単位元「１」の約数を単数といいます．ｍ＞０のとき，単数群は
｛±１｝×Ｃ（Ｃは乗法的巡回群）
によって与えられます．また，εをε＞１なる最小の単数とするとき，
Ｃ＝｛±ε^n｝
と表すことができ，εをＱ（√ｍ）の基本単数といいます．
実２次体の基本単数は一意に定まります．Ｑ（√ｍ）を実２次体とすると，
［ａ］ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき
基本単数を
ε＝ａ＋ｂ√ｍ
とすると
ε~＝ａ−ｂ√ｍ
εが単数←→εε~＝ａ^2−ｍｂ^2＝±１
また，
ε^n＝ａn＋ｂn√ｍ
と書くと
ε^(n+1)＝ε・ε^n＝（ａ＋ｂ√ｍ）（ａn＋ｂn√ｍ）
＝ａａn＋ｂｂnｍ＋（ａｂn＋ｂａn）√ｍ
これより
ａn+1＝ａａn＋ｂｂnｍ
ｂn+1＝ａｂn＋ｂａn
このことから０＜ａ1＜ａ2＜・・・，０＜ｂ1＜ｂ2＜・・・となるのですが，より，ａ，ｂはペル方程式：
ａ^2−ｍｂ^2＝±１
の解の中で（ａ，ｂ）が最小なものとして与えられます．ペル方程式の自明な解（ａ＝±１，ｂ＝０）には単数±１が，自明でない解のなかで絶対値｜ａ｜または｜ｂ｜が最小なものには基本単数が対応するというわけです．
Ｑ（√２），Ｑ（√３），Ｑ（√６），Ｑ（√７）の基本単数を求めると，それぞれ，
ｘ^2−２ｙ^2＝±１，複号は−１で（１，１）が最小→ε＝１＋√２
ｘ^2−３ｙ^2＝±１，複号は＋１で（２，１）が最小→ε＝２＋√３
ｘ^2−６ｙ^2＝±１，複号は＋１で（５，２）が最小→ε＝５＋２√６
ｘ^2−７ｙ^2＝±１，複号は＋１で（８，３）が最小→ε＝８＋３√７
［ｂ］ｍ＝１（ｍｏｄ４）のとき
基本単数を
ε＝（ａ＋ｂ√ｍ）／２ ａ＝ｂ（ｍｏｄ２）
と書けば
ａ^2−ｍｂ^2＝±４
となること以外は前と同様です．
Ｑ（√５），Ｑ（√１３）の基本単数を求めると，それぞれ，
ｘ^2−５ｙ^2＝±４，複号は−４で（１，１）が最小→ε＝（１＋√５）／２
ｘ^2−１３ｙ^2＝±４，複号は−４で（３，１）が最小→ε＝（３＋√１３）／２
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Ｑ（√２）ではε＝１＋√２が基本単数ですが，その他の解は
（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２
とおいて
ｎ＝１：１^2−２・１^2＝−１
ｎ＝２：３^2−２・２^2＝＋１
ｎ＝３：７^2−２・５^2＝−１
ｎ＝４：１７^2−２・１２^2＝＋１
ｎ＝５：４１^2−２・２９^2＝−１
ｎ＝６：９９^2−２・７０^2＝＋１
ｎ＝７：２３９^2−２・１６９^2＝−１
ｎ＝８：５７７^2−２・４０８^2＝＋１
ｎ＝９：１３９３^2−２・９８５^2＝−１
ｎ＝10：３３６３^2−２・２３７８^2＝＋１
一般に，
ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n
となります．
Ｑ（√３）ではε＝２＋√３が基本単数で，
ｎ＝１：２^2−３・１^2＝＋１
ｎ＝２：７^2−３・４^2＝＋１
ｎ＝３：２６^2−３・１５^2＝＋１
ｎ＝４：９７^2−３・５６^2＝＋１
ｎ＝５：３６２^2−３・２０９^2＝＋１
ｎ＝６：１３５１^2−３・７８０^2＝＋１
ｎ＝７：５０４２^2−３・２９１１^2＝＋１
ｎ＝８：１８８１７^2−３・１０８６４^2＝＋１
ｎ＝９：７０２２６^2−３・４０５４５^2＝＋１
ｎ＝10：２６２０８７^2−３・１５１３１６^2＝＋１
一般に，ａn^2−２ｂn^2＝１でａn^2−２ｂn^2＝−１となる解は存在しません．
この２つの例からわかるように，基本単数εのノルムが−１のときには
ｘ^2−ｍｙ^2＝＋１
と
ｘ^2−ｍｙ^2＝−１
はどちらも無数の解をもちますが，εのノルムが＋１のときには解はすべて前者の解であって，後者は解をもちません．
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以下，実２次体Ｑ（√ｍ）の基本単数εを掲げますが
ｍ ペル方程式の最小解 ε ノルム
２ １^2−２・１^2＝−１ １＋√２ −１
３ ２^2−３・１^2＝＋１ ２＋√３ ＋１
５ １^2−５・１^2＝−４ （１＋√５）／２ −１
６ ５^2−６・２^2＝＋１ ５＋２√６ ＋１
７ ８^2−７・３^2＝＋１ ８＋３√７ ＋１
10 ３^2−１０・１^2＝−１ ３＋√１０ −１
11 １０^2−１１・３^2＝＋１ １０＋３√１１ ＋１
13 ３^2−１３・１^2＝−４ （３＋√１３）／２ −１
14 １５^2−１５・４^2＝＋１ １５＋４√１４ ＋１
15 ４^2−１５・１^2＝＋１ ４＋√１５ ＋１
17 ８^2−１７・２^2＝−４ ４＋√１７ −１
19 １７０^2−１９・３９^2＝＋１ １７０＋３９√１９ ＋１
21 ５^2−２１・１^2＝＋４ （５＋√１７）／２ ＋１
22 １９７^2−２２・４２^2＝＋１ １９７＋４２√２２ ＋１
23 ２４^2−２３・５^2＝＋１ ２４＋５√２３ ＋１
26 ５^2−２６・１^2＝−１ ５＋√２６ −１
29 ５^2−２９・１^2＝−４ （５＋√２９）／２ −１
30 １１^2−３０・２^2＝＋１ １１＋２√３０ ＋１
31 １５２０^2−３１・２７３^2＝＋１ １５２０＋２７３√３１ ＋１
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［２］連分数
ｍが小さいときは比較的簡単に求まりましたが，ペル方程式の自然数解を求めることはそれほどやさしくはありません．Ｑ（√１９９）を考えてみると，１９９＝３（ｍｏｄ４）の素数ですが，
ｘ^2−１９９ｙ^2＝±１
の最小解は
（１６２６６１９６５２０，１１５３０８００９９）
にもなってしまいます．
この解を求めるには√１９９の連分数展開
√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］
を用います．９〜２８は循環節（周期２０）です．
標準連分数の場合，
α＝［ｑ1，・・・，ｑn］＝Ｐn／Ｑn
Ｐ0＝１，Ｐ1＝ｑ1，Ｐn＝ｑnＰn-1＋Ｐn-2
Ｑ0＝０，Ｑ1＝１ ，Ｑn＝ｑnＱn-1＋Ｑn-2 (n=2,3,･･･)
で
ＰnＱn-1−Ｐn-1Ｑn＝（−１）^n (n=1,2,･･･)
ＰnＱn-2−Ｐn-2Ｑn＝（−１）^n-1ｑn (n=2,3,･･･)
が成り立ちます．
また，
α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，ｑn，ｑn+1，・・・］
の部分列［ｑn，ｑn+1，・・・］に対して
αn＝［ｑn，ｑn+1，・・・］
なる実数αnを定めると
α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，αn］
＝（αnＰn-1＋Ｐn-2）／（αnＱn-1＋Ｑn-2）
が証明されます．
これに循環連分数になるという性質が加わって，ペル方程式の解が得られるのですが，
√ｍ＝［ｑ1，ｑ2，・・・，ｑn，２ｑ1］ （周期ｎ）
αn+1＝［２ｑ1，ｑ2，・・・］＝√ｍ＋ｑ1
より
√ｍ＝（（√ｍ＋ｑ1）Ｐn＋Ｐn-1）／（（√ｍ＋ｑ1）Ｑn＋Ｑn-1）
ここで，
ＰnＱn-1−Ｐn-1Ｑn＝（−１）^n (n=1,2,･･･)
より，
Ｐn^2−ｍＱn^2＝（−１）^n
となり，ペル方程式の解（Ｐn，Ｑn）が得られます．
√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］
では，ｑ1＝１４，ｑ2＝９，ｑ3＝２，・・・，ｎ＝２０ですから
Ｐ Ｑ
０ 1 0
１ 14 1
２ 127 9
３ 268 19
４ 396 28
５ 1058 75
６ 2511 178
７ 13613 965
８ 56963 4038
９ 70576 5003
10 127593 9041
11 1728583 122536
12 1856122 131577
13 3584705 254113
14 16194942 1148029
15 84559415 5994258
16 185313772 13136545
17 455186959 32267348
18 640500731 45403893
19 1736188421 123075134
20 16266196520 1153080099
となって，
（１６２６６１９６５２０，１１５３０８００９９）
が得られました．
ペル方程式は√ｍの連分数展開を用いると非常には求められるのですが，最小解がｍと較べて非常に大きい例としては
ｍ ε ノルム
46 ２４３３５＋３５８８√４６ ＋１
94 ２１４３２９５＋２２１０６４√９４ ＋１
151 １７２８１４８０４０＋１４０６３４６９３√１５１ ＋１
193 １７６４１３２＋１２６９８５√１９３ −１
409 １１１９２１７９６９６８＋５５３４１７６６８５√４０９ −１
526 ８４０５６０９１５４６９５２９３３７７５＋３６６５０１９７５７３２４２９５５３２√５２６ ＋１
などが知られているようです．
なお，ペル方程式は，
ｘ^2−ｍｙ^2＝ｄ（多くは±１，±４）
を扱うものでしたが，
ｘ^2±ｍｙ^2＝ｐ
を扱うのが類体論です．
［参］小野孝「数論序説」裳華房
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