スターリングの公式は

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）

ですが，リーマンの結果

　　Πｎ＝√（２π）

と同値である．

　さらに，これは

　　ζ’（０）＝−１／２ｌｏｇ（２π）

とも同値である．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

（証）レルヒの公式

　　Π（ｎ＋ｘ）＝√（２π）／Γ（ｘ）

において，ｘ＝１とおくとリーマンの結果が得られる．

［１］ζ’（０）＝−１／２ｌｏｇ（２π）

［２］Πｎ＝√（２π）

［３］ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）

　［１］←→［２］は正規化積の定義そのものであるから，ここでは［１］←→［３］を示す．

　−ζ’（ｓ）＝ｌｉｍ｛Σ（ｌｏｇｎ）／ｎ^s−（ｎ^1-sｌｏｇｎ／（１−ｓ）−ｎ^1-s／（１−ｓ）^2＋１／２・ｌｏｇｎ／ｎ^-s｝

において，ｓ＝０とおくと，

　−ζ’（０）＝ｌｉｍ｛Σ（ｌｏｇｎ）−（ｎ^1ｌｏｇｎ−ｎ^1＋１／２・ｌｏｇｎ｝

＝ｌｉｍｘｌｏｇ（ｎ！／ｎ^n+1/2ｘｅｘｐ（−ｎ））

よって，同等性がわかる．

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