１９６０年代になると，カッツは「ドラムの形は聴き分けられるか？」

　　M. Kac, Can one hear the shape of a drum?, Amer. Math. Monthly, 73(1966),1-23

という論文を発表しました．カッツの問題とは，漸近挙動

　　Ｎd（λ）　〜　ｃdＶdλ^(d/2)

をもっと詳しく調べれば，太鼓の形についての幾何学的情報がすべて得られないだろうか？という問いかけです．

　カッツが提出した等スペクトル問題は，数学論文としてはめずらしく魅力的なタイトルがものをいって，大きな注目を集めこの問題を解こうという研究を大きく促すきっかけとなりました．等スペクトル問題は逆問題の特殊な例になっていて，この論文のタイトルが逆問題の有名な標語（スローガン）になったというわけです．

　カッツの論文により「太鼓の音から，その面積，周の長さ，穴の数が聴きとれる」ことが示されたのですが，これらの成果にもかかわらず，境界の形が円であるのか楕円であるのか，四角形か多角形かなのか，面の正確な形が推測できるかというさらに一般的な疑問には答えられませんでした．これが，マッキーンやシンガーなどの人々を触発し，その後の研究が展開する契機となりました．

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【１】ミルナーの反例

　数学者は１次元・２次元・３次元という一般的な空間だけにとらわれません．無限次元さえ考えるのですが，１９６４年，ミルナーはカッツの問題に対する反例を最初に見つけました．すなわち，幾何学的には異なるけれども同じ音を出す１６次元のドラムのペアを発見したのです．

　「Ｒ^16のなかには形の異なる２つの偶ユニモジュラ格子Ｅ8＋Ｅ8，Ｄ16+がある．この２つの格子から構成されるトーラスＲ^16／Ｅ8＋Ｅ8，Ｒ^16／Ｄ16+は同じテータ関数をもつ（＝等スペクトル）である．」

（証）１６次元ダイアモンド格子Ｄ16+のテータ関数は

　　１／２（θ2^16＋θ3^16＋θ4^16）

Ｅ8＋Ｅ8のテータ関数は

　　｛１／２（θ2^8＋θ3^8＋θ4^8）｝^2

　ここで，ヤコビの関係式

　　Ｄ4+＝Ｉ4　→　θ3^4＝１／２（θ2^4＋θ3^4＋θ4^4）

　　θ3^4＝θ2^4＋θ4^4

より，θ3を消去すれば両者は（定数倍を除いて）一致することが確認できる．

　ところが，偶ユニモジュラ格子は保型性

　　Θ((az+b)/(cz+d))＝(cz+d)^(n/2)Θ(z)

を満さなければならないため，１６次元の場合，テータ関数は，

　　Θ(z)＝１＋４８０Σσ7(n)ａｑ^2n＝Ｅ8(z)

ただひとつに限られる（σ7(n)はｎの正の約数の７乗和，Ｅ8(z)はアイゼンシュタイン級数）．

　したがって，トーラスＲ^16／Ｅ8＋Ｅ8とＲ^16／Ｄ16+は等スペクトルである（＝１６次元多様体の形は必ずしも聞き取ることはできない）ことが証明されたことになる．

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【２】クネーザーの反例

　カッツの提出した「音で太鼓の形が聞き分けられるか？」という有名な問題については，ミルナーによる否定的な研究がありました．また，別の数学者は異なる次元で等スペクトル多様体（等しい固有値をもち，リーマン多様体として異なる多様体）の例を発見しました．

　クネーザーは１２次元の反例：

　　Ｄ12＝１／２（θ3^12＋θ4^12）

　　Ｅ8＋Ｄ4＝１／２（θ2^8＋θ3^8＋θ4^8）×１／２（θ3^4＋θ4^4）

（行列式４）を見つけ，その後，北岡は８次元の反例（行列式８１）を見つけました．

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　体積（行列式），表面積，周長は聞き取れるが，形は聞き取れないという話を格子について述べてきましたが，多様体（多面体）ではどうでしょうか．

　１９８４年，砂田利一（明治大学）は等スペクトル多様体をほとんど思うがままに作り出す画期的な方法を発見し，これによって低次元の実例を作り出すことが可能になりました．そして，カッツの反例となる等スペクトル多様体が構成できることを示したのです．

　　T.Sunada, Riemannian coverings and isospectral manifolds, Ann. Math., 121(1985), 248-277

　にもかかわらず，長い間，２次元の世界で等スペクトル多様体のペアを探しだすことはできませんでしたが，１９９１年には大きな進展がありました．ゴードンとその夫ウェッブは，ウォルポートからヒントを得て，面積と周長は等しいけれども形の違う，けれども同じ音をもつ２次元・３次元のペアを探し出すことに成功したのです．

　　C.Gordon,D.Webb and S.Wolport, Isospectral plane domains.and surfaces via Riemannian orbits, Invent. Math., 110(1192), 1-22

　また，現在知られている最も単純な２次元図形はチャップマンによる８つの角をもつ図形です．

　　S.J.Chapman, Drums that sound the same, Amer. Math. Monthly, 102(1995), 124-138

　浦川肇「ラプラス作用素とネットワーク」，裳華房には，これらの図形が図入りで詳しく書かれています．とはいえ，新たな問題も浮かび上がっています．たとえば，もっと単純な構造をもつもの，あるいは，滑らかな境界をもつドラムのペアは存在するであろうか？　等々．スペクトル幾何学の研究はやっと始まったばかりで，まだ多くの問題が残されているのです．

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