【１】格子のテータ関数

　格子に含まれるベクトルで与えられたノルム（長さの２乗）のものがいくつあるかによって，テータ関数が決まります．たとえば，六角格子ではノルム０のベクトルは１個，ノルム１のベクトル６個，ノルム３のベクトル６個，ノルム４のベクトル６個，ノルム７のベクトル１２個，・・・と数えていけば，この格子のテータ関数Θ(z)は

　　Θ(z) ＝１＋６ｑ＋６ｑ^3＋６ｑ^4＋１２ｑ^7＋・・・

　　　　　＝Σａｑ^k　　　ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

と定義されます．

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（例）Ｚ

　　θ3＝Σｑ^m^2＝１＋２ｑ＋２ｑ^4＋２ｑ^9＋２ｑ^16＋・・・

（例）Ｚ＋１／２

　　θ2＝Σｑ^(m+1/2)^2＝２ｑ^1/4＋２ｑ^9/4＋２ｑ^25/4＋・・・

（例）Ｚ^n

　　θ3^n

　Ｚ^nのテータ関数は

　　θ3^n

であるがもっと詳細に調べてみると，２次元のＺ^2格子において，

　　格子点　：ｍ→ｑ^m→θ3^2

　　辺の中心：ｍ＋１／４→ｑ^m+1/4→θ3θ2

　　面の中心：２ｍ＋１／２→ｑ^2m+1/2→θ2^2

３次元のＺ^3格子において，

　　格子点　：ｍ→ｑ^m→θ3^3

　　辺の中心：ｍ＋１／４→ｑ^m+1/4→θ3^2θ2

　　面の中心：２ｍ＋１／２→ｑ^2m+1/2→θ3θ2^2

　　体の中心：２ｍ＋３／４→ｑ^2m+3/4→θ2^3

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（例）ＦＣＣ＝Ａ3＝Ｄ3

　　１／２（θ3^3＋θ4^3）

＝θ3(4z)^3＋３θ3(4z)θ2(4z)^2

＝１＋１２ｑ^2＋６ｑ^4＋２４ｑ^6＋・・・

（例）ＢＣＣ

　θ2(4z)^3＋θ3(4z)^3

＝１＋８ｑ^3＋６ｑ^4＋１２ｑ^8＋・・・

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（例）Ｄ4

　　１／２（θ3^4＋θ4^4）

＝θ2(2z)^4＋θ3(2z)^4

＝１＋１２ｑ^2＋６ｑ^4＋２４ｑ^6＋・・・

（例）Ｄn

　　θ4＝Σ（−ｑ）^m^2＝１−２ｑ＋２ｑ^4−２ｑ^9＋２ｑ^16−・・・

　　１／２（θ3^n＋θ4^n）

　Ｄ4+＝Ｚ4より

　　１／２（θ2^4＋θ3^4＋θ4^4）＝θ3^4

より

　　θ3^4＝θ2^4＋θ4^4

　Ｄ16+＝Ｈ8＋Ｈ8より，１６次元ダイアモンド格子Ｄ16+のテータ関数は

　　１／２（θ2^16＋θ3^16＋θ4^16）

Ｅ8＋Ｅ8のテータ関数は

　　｛１／２（θ2^8＋θ3^8＋θ4^8）｝^2

（例）ダイアモンド格子

　　１／２（θ2^3＋θ3^3＋θ4^3）

＝１＋４ｑ^3/4＋１２ｑ^2＋１２ｑ^11/4＋６ｑ^4＋・・・

（例）Ｅ8格子

　　１／２（θ2^8＋θ3^8＋θ4^8）

＝θ2(2z)^8＋１４θ2(2z)^4θ3(2z)^4＋θ3(2z)^8

　Θ(z) ＝１＋２４０Σσ3（ｍ）ｑ^2m

＝１＋２４０ｑ^2＋２１６０ｑ^4＋６７２０ｑ^6＋・・・

より，Ｅ8格子において，原点からの距離が√ｎである格子点の個数は

　　２４０σ3（ｎ）

（ここで，σ3（ｎ）はｎの約数の３乗の和）と表せることが知られています．すなわち，

　　ｎ＝１　→　２４０・１^3＝２４０個

　　ｎ＝２　→　２４０・（１^3＋２^3）＝２１６０個

　　ｎ＝３　→　２４０・（１^3＋３^3）＝６７２０個

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（例）リーチ格子Λ24

　Δ＝ｑ^2Π（１−ｑ^2m）^24

＝（１／２・θ2θ3θ4）^8＝（１／２・θ1’）^8

＝Στ（ｍ）ｑ^2m

＝ｑ^2−２４ｑ^4＋２５２ｑ^6＋−１４７２ｑ^8＋・・・

と定義すると，リーチ格子において，

　　Θ(z) ＝ΣＮ（ｍ）ｑ^m＝１＋１９６５６０ｑ^4＋１６７７３１２０ｑ^6＋・・・

　　Ｎ（ｍ）＝６５５２０（σ11（ｍ）−τ（ｍ））／６９１

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【２】雑感

　リーチ格子Λ24は多面体と関係して構成されたものではなく，代数的に構成されたものと思われる．それに対して２４次元格子Ｄ24は切頂切稜多面体と考えられ，そのオーダーは

　　２^24・２４！

である．

［Ｑ］２^24・２４！の下４桁は？

［Ｑ］モンスター群のオーダー

　　２^46・３^20・５^9・７^6・１１^2・１３^3・１７・１９・２３・２９・３１・４１・４７・５９・７１

の下９桁は？

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