４次元正多胞体で空間充填多胞体では，正２４胞体，立方体，正軸体の３種類があるが，正２４胞体が最密球充填となる．

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【１】Ｄ4格子

　（２，０，０，０），（１，１，０，０），（１，０，１，０），（１，０，０，１）に対して，

　　　［２，０，０，０］

　Ｍ＝［１，１，０，０］

　　　［１，０，１，０］

　　　［１，０，０，１］

とおくと，

　　ｄｅｔＤ4＝（ｄｅｔＭ）^2＝４

　　ｖ4＝π^2／２，ｒ＝１／√２

　　Δ＝ｖnｒ^n／（ｄｅｔΛ）^1/2＝ｖ4ｒ^4／（ｄｅｔＤ4）^1/2

＝π^2／１６＝０．６１６９

　　δ＝Δ／ｖn＝１／８＝０．６１６９

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　現在のところ，格子状配置の中で最密球充填となることが証明されている極大格子は，以下のｎ≦８についてのみである．

ｎ　　　ルート　　　格子点間距離　　　　　　　　　　　球充填密度

１　　　Ａ1（Ｚ）　　　１　　　　　　　　　　　　　　　　１

２　　　Ａ2　　　　4√（４／３） 　＝１．０７５　　　　０．９０６

３　　　Ａ3　　　　6√２　　　　 　＝１．１２２　　　　０．７４０

４　　　Ｄ4　　　　8√４　　　　 　＝１．１８９　　　　０．６１９

５　　　Ｄ5　　　　10√８　　　　　＝１．２３１　　　　０．４６５

６　　　Ｅ6　　　　12√（６４／３）＝１．２９０　　　　０．３７３

７　　　Ｅ7　　　　14√６４　　　　＝１．３４６　　　　０．２９５

８　　　Ｅ8　　　　√２　　　　　　＝１．４１４　　　　０．２５４

　このうち，ｎ＝１，２，３については，非格子状配置（面心立方格子と充填密度は等しいが規則的でないもの，ダイヤモンド格子のように周期的ではあるが等方的でないもの，ペンローズ格子のように周期的でないものなど）やランダム配置を含めても最密であることが証明されている．

［補］

ｎ　　　ルート　　球充填密度

２　　　Ａ2　　　π／２√３＝０．９０６（ラグランジュ1773，ガウス1831）

３　　　Ａ3　　　π／３√２＝０．７４０（ガウス1831）

４　　　Ｄ4　　　π^2／１６＝０．６１７（Korkine,Zolotareff,1872）

５　　　Ｄ5　　　π^2／１５√２＝０．４６５（Korkine,Zolotareff,1877）

６　　　Ｅ6　　　π^3／４８√３＝０．３７３（Blichfeldt,1925）

７　　　Ｅ7　　　π^3／１０５＝０．２９５（Blichfeldt,1926）

８　　　Ｅ8　　　π^4／３８４＝０．２５４（Blichfeldt,1934）

ｎ　　　ルート　　球被覆密度

２　　　Ａ2~　　　２π／√２７＝１．２０９（Kershner,1939）

３　　　Ａ3~　　　５√５π／２４＝１．４６４（Bambah,1954）

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