コンウェイは球充填の理論的な側面を研究した．

　　［参］Conway,Sloane "Sphere packings, Lattices and Groups", Springer-Verlag＝「球充填・格子・群」はこのテーマに関する標準の参考書で，ＳＰＬＡＧと略称される．

　とくに２４次元のおける特定の格子の対称性の研究は，コンウェイに数学者としての名声を築くとともに，この著書は毎年結構な額の印税を彼にもたらした．先日，私も第３版を購読して印税に寄与した．第１版と記述の異なる箇所はあるのだろうか？

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【１】最密球充填

　ｎ＝１，２，３については，非格子状配置（面心立方格子と充填密度は等しいが規則的でないもの，ダイヤモンド格子のように周期的ではあるが等方的でないもの，ペンローズ格子のように周期的でないものなど）やランダム配置を含めても最密であることが証明されている．

　また，格子Λの双対格子をΛ~，そして層状格子をΛnで表すことにすると，

　　Λ1＝Ｚ＝Ａ1＝Ａ1~，Λ2＝Ａ2＝Ａ2~

　　Λ3＝Ａ3＝Ｄ3，Λ4＝Ｄ4＝Ｄ4~

　　Λ5＝Ｄ5，Λ6＝Ｅ6

　　Λ7＝Ｅ7，Λ8＝Ｅ8＝Ｅ8~

となる．

　（証明はされていないものの）９次元以上では，１０〜１３次元を除き，２９次元以下の最密球充填配置は層状格子Λnであることが知られている．また，３０〜３２次元ではＱn（Quebemann格子）がΛnを上回る．

　例外となるｎ＝１０，１１，１３では非格子状配置であり，ｎ＝１２は格子状配置Ｋ12（Coxeter-Todd格子），また，ｎ＝１６，２４の格子状配置は

　　Λ16＝ＢＷ16（Barnes-Wall格子），Λ24＝（Leech格子）

と呼ばれる層状格子である．Ｋ12，Λ16，Λ24，Ｑ32は最密球充填格子というわけである．

　　Ｋ12　→　Δ＝π^6/19440=0.04945･･･

　　Λ16　→　Δ＝π^8/16/8!=0.01471･･･

　　Λ24　→　Δ＝π^12/12!＝π^12/479001600=0.001930･･･

と計算されているが，充填密度を

　　δ＝Δ／ｖn

として規格化すると，

　　Ａ1 　→　δ＝1

　　Ａ2 　→　δ＝0.28868

　　Ａ3 　→　δ＝0.17678

　　Ｄ4 　→　δ＝0.125

　　Ｄ5 　→　δ＝0.08839

　　Ｅ6 　→　δ＝0.07217

　　Ｅ7 　→　δ＝0.0625

　　Ｅ8 　→　δ＝0.0625

　　Ｋ12　→　δ＝0.03704(δ＝1/27)

　　Λ16　→　δ＝0.0625(δ＝1/16)

　　Λ24　→　δ＝1

であるから，リーチ格子がいかに効率的配置であるかが理解されるだろう．

　１９６５年，リーチは群論と深く結びついた今日リーチ格子として知られるようになったものに基づいて，２４次元空間の格子状詰め込みを構成したのであるが，この詰め込みにおいては，なんと１つの超球に１９６５６０個もの超球が接触している．そして，τ24の１９６５６０個の点はリーチ格子の原点から一番近い点の集合として得られることが知られている．

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【２】球充填密度（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎの下界と上界

　コラム「無限次元空間の球充填問題」（２００３年）では，ｎ次元ユークリッド空間における球充填密度Δ（ｎ）のｎ→∞における漸近挙動が，

　　−１≦（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−．５９９

であること，そして

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ　→　−１　　　（ｎ→∞）

が成り立つかどうかが問題になっていることを紹介しました．

　ミンコフスキーは，数の幾何学の理論を利用して，

　　Δ≧ζ(n)／２^(n-1)

を得た．ここで，ｎ→∞とするとき，リーマンのゼータ関数

　　ζ(n)＝Σ1/k^n→１

であるから，

　　ｌｏｇ2Δ≧−ｎ＋１

したがって

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≧−１

となる．

　一方，上界は単体的密度限界ｄnで粗雑ながら押さえられる．

　　Δ≦ｄn≦１

すべてのｎに対して，

　　（−ｎ≦）ｌｏｇ2Δ≦−ｎ／２＋ｌｏｇ2（ｎ／２＋１）

が成り立ち，ｎ→∞のとき，

　　ｄn　〜　（ｎ／ｅ）２^(-n/2)

であるから，これで，ｎ→∞のとき，

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−０．５

が得られる．

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−０．５９９

はそれを精緻化したものである．詳細は種本に譲ることにするが，格子状，非格子状の最密充填配置における

　　−１≦（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−０．５９９

という結果は，次元がひとつ増すごとに充填密度Δ（ｎ）がおよそ１／２〜１／１．５１になるという計算が成り立つことを示している．

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【３】キッシング数限界

　ｎ次元球のkissing numberについては，一部の次元では上限と下限の間に絞られているが，すべての次元に通用する球充填の問題はまだ解決していない．

　kissing numberは最密充填構造と深い関連があるのだが，その下界はコクセターの方法によって求められる．一方，上界は単体的密度限界ｄnで粗雑ながら押さえられる．

　単体的密度限界とは，稜の長さが２ｒのｎ次元正則単体の頂点に半径ｒの球を描いたときの充填密度ｄn，外接球Ｒを描いたときの単体における球の被覆密度Ｄnのことであって，平面の場合は

　　ｄ2＝π／√１２＝０．９０６８・・・

　　Ｄ2＝２π／√２７＝１．２０９・・・

空間の場合は，

　　ｄ3＝√１８（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝０．７７９７・・・

　　Ｄ3＝９√３／２（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝１．４３１・・・

となる．

　１９５８年，ロジャースは，四面体配置から空間充填率の上限を７７．９７％とはじき出した．四面体配置は，３次元で相互に接するように球を配置するときの最大数となる配置であるが，全空間を充たすことはできないので，空間充填率の上限と考えられるわけである．

　任意のｎ次元空間においても，単体は空間充填体でないという都合の悪い事情が現れるので，充填密度Δはｄnより決して大きくはなく，被覆密度ΘはＤnより小さくないので，これを使って，上側からの粗い評価をすると，

　　ｎ　 τn

　　1 　　　　　 2

　　2 6

　　3 12

　　4 24〜26

　　5 40〜48

　　6 72〜85

　　7 126〜146

　　8 240〜244

となり，現在知られている上界よりほんの少し大きい方に偏っていることがわかる．コクセターが提起した４次元キッシング数限界は２４と２６の間，８次元キッシング数限界は２４０と２４４の間であった．

　２４次元の球充填問題は，２００４年にコーンとクマールによって完全に解決された．４次元ではスローンとオドリツコが上限を２５にまで減らし，さらにハーディンがそれを２４に下げた．８次元ではスローンとオドリツコが上限を２４０にまで下げた．

　ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnは，４次元以上の高次元では，４次元（２４個），８次元（２４０個），２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決である．

　　ｎ　 τn 　　ｎ　 τn

　　1 　　　　　 2 　　13 1130〜2233

　　2 6 　　14 1582〜3492

　　3 12 　　15 2564〜5431

　　4 24 　　16 4320〜8313

　　5 40〜46 　　17 5346〜12215

　　6 72〜82 　　18 7398〜17877

　　7 126〜140 　　19 10668〜25901

　　8 240 　　20 17400〜37974

　　9 306〜380 　　21 27720〜56852

　　10 500〜595 　　22 49896〜86537

11 582〜915 23 93150〜128096

12 840〜1416 24 196560

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