たとえば，置換多面体の場合，原正多胞体の面数公式を

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

とすると，面数公式

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)Ｎj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)　　　（ｋ≦ｎ−２）

より，置換多面体の体積公式は

　　Ｖn＝（Ｎ0Ｖn-1Ｈ0＋Ｎ1Ｖn-2Ｈ1＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈn-2＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈn-1）／ｎ

　すなわち，４次元の場合は

　　Ｖ4＝（Ｎ0Ｖ3Ｈ0＋Ｎ1Ｖ2Ｈ1＋Ｎ2Ｖ2Ｈ2＋Ｎ3Ｖ3Ｈ3）／４

とするのは自然な発想と思われる．

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　しかしながら，面数公式においては，以下のようにＶ1も使用している．

　（１１１１）→ｆ＝（１２０，２４０，１５０，３０）

　頂点に（１１１），辺に（１１）柱ができていることになる．

（１１１）→ｆ＝（２４，３６，１４），１

（１１）→ｆ＝（６，６），１

（１）→ｆ＝（２），１

（）→ｆ＝（），１

ｆ0＝５・２４＝１２０　　（ＯＫ）

ｆ1＝５・３６＋１０・６＝２４０　　（ＯＫ）

ｆ2＝５・１４＋１０・６＋１０・（２）＝１５０　　（ＯＫ）

ｆ3＝５・１＋１０・１＋１０・１＋５＝３０　　（ＯＫ）

　５次元の場合は

　　Ｖ5＝（Ｎ0Ｖ4Ｈ0＋Ｎ1Ｖ3Ｈ1＋Ｎ2Ｖ2Ｈ2＋Ｎ3Ｖ3Ｈ3＋Ｎ4Ｖ4Ｈ4）／５

では正解よりも小さな値になってしまうのは，このためなのだろうか？

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