平行体の体積計算では，２つの方法

［１］漸化式

［２］行列式（グラミアン）

が考えられる．置換多面体とその正軸体版の２種類の多面体について，２つの方法で計算したところ，どちらの多面体でも４次元まで［１］［２］は一致したものの５次元以上で乖離してしまったことがあった．

　　１−ｙ1＝２／ｎ（ｎ＋１）

より，規格化前（正単体の辺の長さ１）の置換多面体の体積は

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(n-1/2}／２^n/2・｛２／ｎ（ｎ＋１）｝^n

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【１】中心から各面までの距離

　　Ｐn（ａ1，・・・，ａn）

　　ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））

と切頂切稜面の距離を求める．

　切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点

　　Ｑ＝（ｘ1，・・・，ｘn）＝（ａ1ｙ1，・・・，ａnｙn）

を通る．

ＰnＰ0＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）

ＰnＰ1＝（０，−ａ2，−ａ3，・・・，−ａn）

ＰnＰn-1＝（０，・・・，０，−ａn）

　ファセットを定めている不等式は，

　　ａ・ｘ＝ｃ

で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は

　　｜ａ・ｘ0−ｃ｜／‖ａ‖

とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．

　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので

　　ａ＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）

　　ｑ＝（ｘ1−ａ1，ｘ2−ａ2，ｘ3−ａ3，・・・，ｘn−ａn）

とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと

　　ｃ0＝−（ａ1ｘ1＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｃ0＝−（ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）^1/2

　ここで，

　　ａ1^2＋・・・＋ａn^2

＝１／２（１／１・２＋１／２・３＋・・・＋１／ｎ・（ｎ＋１））

＝１／２（１／１−１／２＋１／２−１／３＋・・・＋１／ｎ−１／（ｎ＋１））

＝１／２（１／１−１／（ｎ＋１））

＝１／２・ｎ／（ｎ＋１）

　　ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn

＝１／２（１／１・２−１／ｎ（ｎ＋１））＋・・・＋１／２（１／ｎ・（ｎ＋１）−１／ｎ（ｎ＋１））

＝１／２（１／１・２＋・・・＋１／ｎ・（ｎ＋１）−ｎ／ｎ（ｎ＋１））

＝１／２（１／１−１／（ｎ＋１）−ｎ／ｎ（ｎ＋１））

　ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ＝（０，−ａ2，・・・，−ａn）

　　ｃ1＝−（ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｃ1＝−（ａ2^2ｙ2＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）^1/2

　ここで，

　　ａ2^2＋・・・＋ａn^2

＝１／２（１／２・３＋・・・＋１／ｎ・（ｎ＋１））

＝１／２（１／２−１／３＋・・・＋１／ｎ−１／（ｎ＋１））

＝１／２（１／２−１／（ｎ＋１））

＝１／２・（ｎ−１）／２（ｎ＋１）

　　ａ2^2ｙ2＋・・・＋ａn^2ｙn

＝１／２（１／２・３−１／ｎ（ｎ＋１））＋・・・＋１／２（１／ｎ・（ｎ＋１）−１／ｎ（ｎ＋１））

＝１／２（１／２・３＋・・・＋１／ｎ・（ｎ＋１）−ｎ／ｎ（ｎ＋１））

＝１／２（１／２−１／（ｎ＋１）−（ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１））

　ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ＝（０，・・・，０，−ａn）

　　ｃn-1＝−ａnｘn＋ａn^2＝−ａn^2ｙn＋ａn^2

　　ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａn^2）^1/2

　　‖ａk‖^2＝１／２（ｋ＋１）（ｋ＋２）＋・・・＋１／２ｎ（ｎ＋１）＝１／２（１／（ｋ＋１）−１／（ｎ＋１））＝（ｎ−ｋ）／２（ｋ＋１）（ｎ＋１）

　ここで，

　　ａn^2＝１／２（１／ｎ・（ｎ＋１））

＝１／２（１／ｎ−１／（ｎ＋１））

＝１／２（１／ｎ−１／（ｎ＋１））

＝１／２・１／ｎ（ｎ＋１）

　　ａn^2ｙn

＝１／２（１／ｎ・（ｎ＋１）−１／ｎ（ｎ＋１））＝０

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　　１−ｙ1＝（１・２）／ｎ（ｎ＋１）

　　１−ｙ2＝２（１＋２）／ｎ（ｎ＋１）＝（２・３）／ｎ（ｎ＋１）

　　１−ｙ3＝２（１＋２＋３）／ｎ（ｎ＋１）＝（３・４）／ｎ（ｎ＋１）

　　１−ｙn＝２（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）／ｎ（ｎ＋１）＝ｎ（ｎ＋１）／ｎ（ｎ＋１）＝１

　　ａ1^2（１−ｙ1）＝１／２（１・２）・（１・２）／ｎ（ｎ＋１）＝１／２ｎ（ｎ＋１）

　　ａ2^2（１−ｙ2）＝１／２（２・３）・（２・３）／ｎ（ｎ＋１）＝１／２ｎ（ｎ＋１）

　　ａ3^2（１−ｙ3）＝１／２（３・４）・（３・４）／ｎ（ｎ＋１）＝１／２ｎ（ｎ＋１）

　　ａn^2（１−ｙn）＝１／２（ｎ・ｎ＋１）・（ｎ・ｎ＋１）／ｎ（ｎ＋１）＝１／２ｎ（ｎ＋１）

を用いた方が計算がやさしい．

　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので

　　ａ＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）

　　ｑ＝（ｘ1−ａ1，ｘ2−ａ2，ｘ3−ａ3，・・・，ｘn−ａn）

とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと

　　ｃ0＝−（ａ1ｘ1＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｃ0＝−（ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）^1/2

　ここで，

　　ａ1^2＋・・・＋ａn^2＝１／２（１／１・２＋１／２・３＋・・・＋１／ｎ・（ｎ＋１））

＝１／２（１／１−１／２＋１／２−１／３＋・・・＋１／ｎ−１／（ｎ＋１））

＝１／２（１／１−１／（ｎ＋１））

＝１／２・ｎ／（ｎ＋１）

　　ａ1^2（１−ｙ1）＋・・・＋ａn^2（１−ｙn）

＝ｎ／２ｎ（ｎ＋１）

　　ｈ0＝（１／２（ｎ＋１））^1/2

　ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ＝（０，−ａ2，・・・，−ａn）

　　ｃ1＝−（ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｃ1＝−（ａ2^2ｙ2＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）^1/2

　ここで，

　　ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１／２（１／２・３＋・・・＋１／ｎ・（ｎ＋１））

＝１／２（１／２−１／３＋・・・＋１／ｎ−１／（ｎ＋１））

＝１／２（１／２−１／（ｎ＋１））

＝１／２・（ｎ−１）／２（ｎ＋１）

　　ａ2^2（１−ｙ2）＋・・・＋ａn^2（１−ｙn）

＝（ｎ−１）／２ｎ（ｎ＋１）

　　ｈ1＝（（ｎ−１）／（ｎ＋１））^1/2／ｎ

　ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ＝（０，・・・，０，−ａn）

　　ｃn-1＝−ａnｘn＋ａn^2＝−ａn^2ｙn＋ａn^2

　　ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａn^2）^1/2

　　‖ａk‖^2＝１／２（ｋ＋１）（ｋ＋２）＋・・・＋１／２ｎ（ｎ＋１）＝１／２（１／（ｋ＋１）−１／（ｎ＋１））＝（ｎ−ｋ）／２（ｋ＋１）（ｎ＋１）

　ここで，

　　ａn^2＝１／２（１／ｎ・（ｎ＋１））

＝１／２（１／ｎ−１／（ｎ＋１））

＝１／２（１／ｎ−１／（ｎ＋１））

＝１／２・１／ｎ（ｎ＋１）

　　ａn^2（１−ｙn）＝１／２ｎ（ｎ＋１）

　　ｈn-1＝（１／２ｎ（ｎ＋１））^1/2

　一般に，

　　‖ａj‖^2＝（ｎ−ｊ）／２（ｊ＋１）（ｎ＋１）

　　ｃj＝（ｎ−ｊ）／２ｎ（ｎ＋１）

　　ｈj＝｛（ｊ＋１）（ｎ−ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝^1/2→ＯＫ

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