コラム「ｎ角の穴をあけるドリル（その１１）」では，ロータリーエンジンの機械運動学的解析を行い，ローターの内径はステーターの外径の２倍であることを述べた．
すなわち，内側の円（半径ｒ）が固定されており，外側の円（半径２ｒ）がそのまわりを回転するとき，ステーター（内側の円）はローター（外側の円）の中心の軌跡に一致するのである．
ローターとステーターの関係は逆にして考える方が一般的であろう．すなわち，・・・
（Ｑ）固定された円の内部に直径が１／２のもう一つの円が入っているとする．小さい円が大きい円に内接し滑ることなく大きい円に沿って回転すると，動円上の定点はどのような軌跡を描くか？
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【１】コペルニクスの定理
（Ａ）答えは驚くほど単純で「固定円の直径」上を直線運動するのです（アッと驚く図形だったでしょうか）．この結果は円周角の定理より正しいことが確かめられます．コペルニクスの定理と呼ばれているのですが，運動学的には回転運動を直線運動に変換する変換器であり，リンク機構（蝶番つき平行四辺形）を使って実現されます．
ところで，ロータリーエンジンの機械運動学的解析から，ステーターは円でなくても，定幅図形であればよいことがわかりました．定幅図形はいかなる方向に関しても等しい幅をもっているので，その幅の２倍の直径をもつ円の中心は，常に定幅図形の周上にあることになるからです．
このことは定幅図形を水平線上で転がすと，回転の中心は直線との接点の鉛直線上にあることから理解されます．また，定幅曲線の共通の性質として，
「幅ｄの定幅曲線の周長Ｌはπｄである」
があげられます（バービエの定理：１８６０年）．円ではｄ＝２ｒ，Ｌ＝２πｒ＝２ｄ．ルーローの三角形では元の三角形の１辺の長さをｌとするとｄ＝ｌ，各円弧の長さはπｌ／３ですから，Ｌ＝πｄを満たし，これにより幅の等しい定幅曲線は周長も等しいことがわかります．
それでは，
（Ｑ）固定された円の内部に，その直径の半分幅のルーローの三角形が入っているとする．ルーローの三角形が大きい円に内接し滑ることなく大きい円に沿って回転すると，ルーローの三角形の頂点はどのような軌跡を描くか？
（Ａ）２つのレンズを連ねたような形になります．連ズ型とシャレておきますが，簡単なので実際に確かめてみてください．
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【２】円の直径が作る直線族の包絡線
コペルニクスの定理に関連して，もう１題．
（Ｑ）固定された円の内部に直径が１／２のもう一つの円が入っているとする．小さい円が大きい円に内接し滑ることなく大きい円に沿って回転すると，動円の直径によって覆われる点集合はどのようなものか？
（Ａ）コペルニクスの定理により，動円の直径の両端は互いに直交する２直線に端点を載せながら動きます．直径の中点は半径が動円の半径の半分の円，中点以外の点は楕円を描きます．そして，この集合の境界をなす曲線はアステロイドになります．
アステロイドは固定された円の内部に直径が１／４のもう一つの円が入っていて，小さい円が大きい円に内接し滑ることなく大きい円に沿って回転するときの動円上の定点の軌跡です．
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【３】２円定理
前節で述べたことをさらに一般化した定理を紹介します．
「ある曲線に沿って，滑ることなく転がる半径ｒの円周上の点Ｐの軌跡は，同じ曲線に沿って一緒に半径２ｒの円を転がしたとき，この円に固定された直径が作る直線族の包絡線になる．」
直線上を転がる円周上の点の軌跡はサイクロイドとして知られています．直線も半径が無限大の円と考えることができますから，このとき転円の直径が作る直線族の包絡線は大きさが半分のサイクロイドになることが２円定理より証明されます．
同様に，半径ｒの固定円のまわりを転がる半径ｒの円周上の点Ｐの軌跡はカージオイドになりますが，一緒に半径２ｒの円を転がしたとき，この円に固定された直径が作る直線族の包絡線もカージオイドになります．
さらに，
(1)円周上の光源からからでた光線が反射されてできる直線族の包絡線はカージオイドになる
(2)平行光線が円周で反射されてできる直線族の包絡線はネフロイドになる
ことも証明されます．
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【４】おまけ（自転・公転問題）
（Ｑ）円周ｍの大円がある．この円に内接しながら円周１の小円が転がるとき，１周するまでに小円は何回転するか？ また，外接しながら転がるときは何回転するか？
（Ａ）論より証拠，実際にやってみるとそれぞれｍ−１回転，ｍ＋１回転する．もちろん円周の内側と外側で長さが違うわけではない．パップス・ギュルダンの定理をもちだすまでもなく，この問題のポイントは，小円が自転しながら同時に１公転していることにある．また，大円は任意の閉曲線としても構わない．
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