平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかない．
このうち６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致している．また，切頂８面体（ｆ＝１４）の辺を点に縮めることによって，長菱形１２面体（ｆ＝１２）→菱形１２面体（ｆ＝１２）→６角柱（ｆ＝８）→立方体（ｆ＝６）ができると考えることができる．
これら５種類の図形（平行多面体）は３次元格子の幾何学的分類であり，５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以である．
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【１】ボロノイ細胞
まず，簡単な縄張りのモデルを考えてみよう．草原のいくつかの巣穴にネズミが一匹ずつ棲んでいるとする．個々の縄張りが単独で存在するとき，縄張りはほぼ円であると考えることができるが，個体密度が次第に高くなってくると，縄張り所有者は互いに侵入者を追い払おうとするから，縄張り間に境界ができる．二匹のネズミの力に差がないとき，境界線は隣り合った２つの巣穴を結ぶ線分の垂直二等分線になる．そして，個体密度が十分高くなると，結局，棲息地はいくつかの凸多角形で分割されることになる．
このように，はじめに点の分布（母点）があって，隣り合った２点を結ぶ線分の垂直二等分線を次々に引いていくことによりできる多角形パターンは，ディリクレ領域またはボロノイ領域と呼ばれる．この概念は，はじめディリクレによって２次元で提出され（１８５０年），その後，ボロノイによって３次元に拡張された（１９０８年）．研究分野によりいろいろな呼び名が使われていて，たとえば，地理学分野ではティーセン多角形と呼ばれているし，物性物理学分野では，ウィグナー・ザイツセルという呼び名も用いられている．細胞（セル）の図と非常に似ているためであろう．
この多角形モデルは領域の中心を占める対象が形成する勢力圏をモデル化したものであり，空間の次元が３，４，・・・にも拡張することができ，３次元では多面体，４次元では多胞体によって空間分割されることになる．
また，勢力に差があれば垂直二等分線ではなく，強いほうにふくらんだ境界曲線ができるし，領域の中心を占める対象が母点ではなく，線であったり面であったりすると，それぞれの条件に対応したデフォルメされたボロノイ図を考えることができる．
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【２】２次元格子のボロノイ細胞
１次元格子は直線上に等間隔に並んだ点の集合であり，すべての１次元格子は点の間隔が違うだけで，本質的には同じものである．しかし，２次元格子には基本的な種類が２つある．ひとつは等間隔に並んだ横列の各点の真上に他の横列の点があるもので，もうひとつは横列の点を水平方向にずらしたものである．すなわち，２次元格子の形は平行四辺形（正方形，長方形，菱形を含む）になるが，その格子点の各点に対して垂直二等分線を引くと，すべて合同なディリクレ領域ができる．
どのような２次元格子であっても，そのディリクレ領域は４角形あるいは６角形になる．２次元の格子の多くについて，ボロノイ細胞は六角形であり，辺を点に縮めることによって四角形になるというわけである．
無限に多くの２次元格子があるが，その対称性を考えると，本質的な配置は，正方形，長方形，菱形，二等辺三角形あるいは正三角形を２つ貼り合わせた平行四辺形状配置の５つしかない．それに対応するディリクレ領域も，正方形，長方形，切頂菱形（ソロバン珠型），長６角形（亀甲型），正６角形の５種類に限られることになる．
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【３】３次元格子のボロノイ細胞
ディリクレ領域の概念は３次元にも一般化できる．２次元ディリクレ領域は５種類だったが，３次元格子には１８４８年にブラーベが発見した１４種類あり，そして，これから決まる本質的なディリクレ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかない．
ついでにいうと，４次元格子のボロノイ細胞は２次元の六角形や３次元の切頂８面体にあたる素の形が３つあるため５２種類へと急増する．５次元格子では素の形だけで２２２種類，その辺を点に縮めると膨大な数になるのでリストアップはいまでも完成していない．また，ボロノイ細胞の面の数ｆは原始的な格子に対するものが最大で，２（２^n−１）個である．
ｎ＝２ → ｆ＝６
ｎ＝３ → ｆ＝１４
ｎ＝４ → ｆ＝３０
ｎ＝５ → ｆ＝５２
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【４】球充填格子とルート系
ところで，このような格子が球充填問題の解を与える．同じ大きさの球を最も密に詰め込む方法は，８次元まではよく知られていて
Ａ1，Ａ2，Ｄ3，Ｄ4，Ｄ5，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8
である．
ルート格子Ａnはｎ＋１個の整数からなり，その和が０であるベクトル（ｘ0，ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn）の集合，Ｄnはベクトル（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn）の成分がすべて整数でかつそれらの和が偶数となる格子で，チェス盤を考えればよい．
Ｅ8格子はベクトル（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘ8）において，成分がすべて整数であるかすべて半整数であるかであって，それらの総和が偶数．Ｅ7格子はＥ8に含まれるベクトルで，ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘ8＝０を満たすもの．Ｅ6格子はＥ8に含まれるベクトルで，ｘ1＋ｘ8＝ｘ2＋・・・＋ｘ7＝０を満たすものの集合である．ノルムが２のベクトルで生成される整格子はルート格子Ａn，Ｄn，Ｅn（の直和）である（ヴィットの補題）．
ｎ ルート 格子点間距離 球充填密度
１ Ａ1（Ｚ） １ １
２ Ａ2 4√（４／３） ＝１．０７５ ０．９０６
３ Ａ3 6√２ ＝１．１２２ ０．７４０
４ Ｄ4 8√４ ＝１．１８９ ０．６１９
５ Ｄ5 10√８ ＝１．２３１ ０．４６５
６ Ｅ6 12√（６４／３）＝１．２９０ ０．３７３
７ Ｅ7 14√６４ ＝１．３４６ ０．２９５
８ Ｅ8 √２ ＝１．４１４ ０．２５４
ｎ ルート 球充填密度
２ Ａ2 π／２√３＝０．９０６（ラグランジュ1773，ガウス1831）
３ Ａ3 π／３√２＝０．７４０（ガウス1831）
４ Ｄ4 π^2／１６＝０．６１７（Korkine,Zolotareff,1872）
５ Ｄ5 π^2／１５√２＝０．４６５（Korkine,Zolotareff,1877）
６ Ｅ6 π^3／４８√３＝０．３７３（Blichfeldt,1925）
７ Ｅ7 π^3／１０５＝０．２９５（Blichfeldt,1926）
８ Ｅ8 π^4／３８４＝０．２５４（Blichfeldt,1934）
歴史を振り返ってみると，ｎ＜３はガウス（1831年），ｎ＝４，５の場合は１８７０年代にコルキンとゾロタレフ，ｎ＝６，７，８は１９３５年までにブリチェフェルドにより解決された．
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１９６５年，リーチは群論と深く結びついた今日リーチ格子Λ24（Leech格子）として知られるようになったものに基づいて，２４次元空間の格子状詰め込みを構成したのですが，この詰め込みにおいては，なんと１つの超球に１９６５６０個もの超球が接触しています．そして，τ24の１９６５６０個の点はリーチ格子の原点から一番近い点の集合として得られることが知られています．
球の最密パッキングの研究は，２次形式の数論，ルート系，誤り訂正符号（応用代数学），有限単純群などの理論と関係し，最大の信頼性と最小の電力で伝送できる効率的な通信システムの設計に応用されています．とくに，２４次元リーチ格子：Λ24の発見により，データ転送における誤り訂正符号の発見に大革新がもたらされましたが，通信技術への応用は球の詰め込み問題の四次元以上への一般化の結果としてなされたものであり，純粋数学の期待せざる応用の一例といってもよいでしょう．
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