ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)ｇj^(n)ｈ(k-j)^(n-1ｰj)

　　Ｌk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

　　Ｍk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）

　　Ｎk＝２^n-k（ｎ，ｋ）

　（ｇ，ｈ）＝（Ｌ，ｆ）

　（ｇ，ｈ）＝（Ｍ，ｆ）

　（ｇ，ｈ）＝（Ｌ，Ｌ）

　（ｇ，ｈ）＝（Ｍ，Ｎ）

は存在．

　（ｇ，ｈ）＝（Ｌ，Ｍ）

　（ｇ，ｈ）＝（Ｌ，Ｎ）

　（ｇ，ｈ）＝（Ｎ，Ｍ）

は非存在．

　ｆも含めると正方形の辺と対角線，頂点のループの１５組の組み合わせが考えられる（順序を考慮すれば２５組）．ｆを含めなければ，正三角形の辺と頂点のループの６組の組み合わせが考えられる（順序を考慮すれば９組）．

　（ｇ，ｈ）＝（Ｍ，Ｍ），（Ｎ，Ｎ）

はどうだろうか？

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【１】ｇ＝Ｍ，ｈ＝Ｍ

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)ｇj^(n)ｈ(k-j)^(n-1ｰj)

＝Σ(j=0~k)２^j+1（ｎ，ｊ＋１）２^k-j+1（ｎ−１−ｊ，ｋ−ｊ＋１）

は簡単な形にはならない．そこで，・・・

［１］ｋ＝０のとき

　　ｊ＝０：２ｎ・２（ｎ−１）→ｆ0＝４ｎ（ｎ−１）

［２］ｋ＝１のとき

　　ｊ＝０：２ｎ・４（ｎ−１）（ｎ−２）／２

　　ｊ＝１：４ｎ（ｎ−１）／２・２（ｎ−２）

より，

　　ｆ1＝８ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）

→該当者なし

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【２】ｇ＝Ｎ，ｈ＝Ｎ

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)ｇj^(n)ｈ(k-j)^(n-1ｰj)

＝Σ(j=0~k)２^n-j（ｎ＋１，ｊ＋１）２^n-k-1（ｎ−１−ｊ，ｋ−ｊ）

は簡単な形にはならない．そこで，・・・

［１］ｋ＝０のとき

　　ｊ＝０：２^n（ｎ＋１）・２^n-1＝２^2n-1・ｎ（ｎ＋１）→ｆ0＝２^2n-1・ｎ（ｎ＋１）

［２］ｋ＝１のとき

　　ｊ＝０：２^n（ｎ＋１）・２^n-2（ｎ−１）

　　ｊ＝１：２^n-1ｎ（ｎ＋１）／２・２^n-2

より，

　　ｆ1＝２^2n-4（ｎ＋１）（３ｎ−２）

→該当者なし

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