素数を順番に与える単純で役に立つ代数式は存在しない．しかし，単純な素数式は存在する．ただし，それは素数に数式の装いをさせたまやかしの素数式であって，何も新しいことは教えてくれないのである．

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【１】素数を表す公式（ミルズの公式）

　１９４７年，ミルズはある定数Ａが存在し，すべてのｎに対して素数だけしか与えない公式

　　ｐn＝［Ａ^3^n］

を示した．

　リーマン予想を仮定すると，そのようになるＡの最小値はおよそ１．３０６となる．

　　１．３０６３７７８８３８６３＜Ａ＜１．３０６３７７８８３８６９

また，表現される素数は

　　ｐ1＝２，ｐ2＝１１，ｐ3＝１３６１，ｐ4＝２５２１００８８８７

　この公式ですべての素数を生み出せるわけではないが，任意の大きな素数を得ることができるようになった．

　ミルズは，定数Ａを作るために，十分大きなｎに対してｎ^3と（ｎ＋１）^3−１の間には常に素数が１個存在するという事実を利用した．実はこの式から作り出されるすべての素数は定数Ａのなかにそっと埋め込まれている．すなわち，この式では定数Ａをｐnからある種の姑息な方法で計算して決めているため，本当の閉じた式であるとは考えにくい．

　すなわち，この定数Ａは素数のある適切な数列を使って定義されており，個の式はその数列を再現するための記号的な方法に過ぎないのである．

　ともあれ，任意に大きい素数を与えることができ，しかも素数しか与えない実用になる式はこれまでのところ見つかっていないのである．

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　ここでは，ある定数ｃと十分に大きい任意の素数ｐとθ＝１０５１／１９２０に対して．ｐとｐ＋ｃｐ^θの間に素数が必ず存在する（自明でない）事実を使って，そのような定数Ａが存在することをす証明しよう．

　重要なことはθ＜２／３であることである．ｐ1を十分大きくとり，ｐnをｐn-1^3より大きい最も小さい素数とする．

　　ａn＝３^-nｌｎｐn，ｂn＝３^-nｌｎ（ｐn＋１）

として，もしａn-1≦ａn＜ｂn≦ｂn-1であることを示すことができれば

　　Ａ＝ｅ^ａn　　　（ｎ→∞）

とすることができる．

　この条件は

　　ｐn-1^3≦ｐn＜（ｐn-1＋１）^3

と同じで，もしこの間に素数ｐnが存在しなければ素数ｐ＜ｐn-1^3で，

　　ｐ＋ｃｐ^θ＞（ｐn-1＋１）^3

となるものが存在しなければならない．しかし，これはｃｐ^θ＞３ｐ^2/3であることを意味し，ｐが十分大きければ不可能である．

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