■単純リー環を使った面数数え上げ(その37)

 Cn,すなわち,

  fk=2^k+1(n,k+1)+2^k+2(n−k−1)(n,k+1)

=2^k+1(2n−2k−1)(n,k+1)

  f0=2n(n−1)

  f1=2(n−2)f0

  fn-1=2^n+2n

についても,(その36)同様の意味論的解釈を行ってみたい.

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 βnの頂点が消えて,βn-1に置き換わると考えると,2n個の頂点と2^2(n,2)個の辺が消えて,2^2(n,2)個の頂点になる.

 すると,最終的な頂点数と辺数は

  2^2(n,2)=2n(n−1)  (OK)

  2n・2^2(n−1,2)=4(n−1)n(n+1)  (OK)

k次元面数は,

  2^k+1(n,k+1)+2n・2^k+1(n−1,k+1)

=2^k+1(n,k+1)+2^k+2(n−k−1)(n,k+1),k=2〜n−2

n−1次元面数は

  2^n+2n  (Ok)

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