【１】ヒーウッドの公式

　オイラーの公式は単純ですが，要はその使い方というわけで，たとえば，多面体には３角形か４角形面か５角形面が少なくとも１つなければならないことはもっと簡単に証明できます．

　どの領域も少なくとも６つの領域で囲まれていると仮定すると

　　６ｆ≦２ｅ

また，このような問題を解くにあたっては，すべての交点で３本の境界線が会している地図だけを考えればよいので，

　　３ｖ≦２ｅ

　これらをオイラーの公式に代入すると

　　ｖ−ｅ＋ｆ≦１／３ｅ−ｅ＋２／３ｅ＝０≠２

となって矛盾を生じます．したがって，５個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになります．

　平面や球面上に描かれた地図に関するオイラーの公式は

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

でしたが，トーラス上の地図に関するオイラーの公式は

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝０

です．

　トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることを証明するために，どの領域も少なくとも７つの領域で囲まれていると仮定すると

　　７ｆ≦２ｅ

また，３ｖ≦２ｅですから

　　ｖ−ｅ＋ｆ≦２／７ｅ−ｅ＋２／３ｅ＝−１／２１ｅ≠０

という矛盾を引き出すことができます．

　したがって，トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになります．このことを利用すると，

　　「トーラス上のどんな地図でも７色で塗り分けられる」

ことが証明されます．ヒーウッドは実際に７色を必要とする例もあげています．

　これを証明したヒーウッドはさらにｇ個の穴があいたトーラス上の地図に関するオイラーの公式

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２−２ｇ

を利用して

(1)２個の穴があいているトーラス上の地図はどれも８色で塗り分けられる

(2)３個の穴があいているトーラス上の地図はどれも９色で塗り分けられる

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

(3)１０個の穴があいているトーラス上の地図はどれも１４色で塗り分けられる

に引き続いて，

(4)ｇ個の穴があいているトーラス上の地図はどれもＨ（ｇ）色で塗り分けられる

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

を証明しました．

　［・］はガウス記号で，

　　ｇ：１，２，３，　４，　５，　６，　７，　８，　９，１０

　　Ｈ：７，８，９，１０，１１，１２，１２，１３，１３，１４

となるのですが，しかし，ヒーウッドはｇ≧２に対してそのような地図が実在することを示すことはできませんでした．そのため，この問題は「ヒーウッド予想」と呼ばれることになりました．

　１９６８年，リンゲルとヤングスは，ｇ個の穴のあいているトーラス上にこれだけの色を必要とする地図が存在することを証明したのですが，ヒーウッド予想（１８９０年）が最終的に証明されるまでには７７年もの歳月が必要だったというわけです．

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【２】四色問題

　平面上の四色問題では，地図が平面ではなく球面上に描かれているものとすると，外部領域は他の領域と何の違いもないことになります．したがって，外部領域を塗っても塗らなくても構わないことになり，平面上の四色問題は球面上の四色問題と等価と考えることができます．

　ヒーウッドは五色定理を鮮やかに証明できても，四色定理を証明することはできませんでした．したがって，平面・球面上の四色問題よりも先に，トーラス上の地図の塗り分けには７色必要であることが証明されたことになります．

　ヒーウッドの式はｇが正の数の場合にしか適用できないのですが，仮にｇ＝０を代入するとＨ（０）＝４となって，穴のあいていないトーラスすなわち球の表面に置かれた地図を塗り分けるために必要な色の数を正しく導き出すことができます．しかし，残念ながらこれは偶然の一致であり，ヒーウッド予想の証明から四色定理を導くことはできません．

　大きい種数ｇに対するヒーウッドの公式は四色問題が証明されるよりもかなり前に証明されているのですが，種数０の場合，つまり平面的集合の場合が最も難しいという事実は注目すべき事です．

　四色問題の証明では，地図を電気回路とみなして

　　４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２

の条件の下の放電（電荷の移動）に帰着させる（放電法）のですが，この手続きにはどうしてもコンピュータが必要になりました．アペルとハーケンの後も放電法の改良が続けられ，１９９４年，ロバートソン，サンダース，シーモア，トーマスの４人が新たな１章をつけ加えました．

　アッペルとハーケンの見つけた１４８２の配置と４８７の放電規則よりもはるかに単純となって，６３３の配置と３２の放電規則を使って証明しました．しかし，これとて基本的にはアペル，ハーケンと同じコンピュータ路線なのです．確かにコンピュータを使った証明を美しいあるいはエレガントな数学と呼ぶことはできないかもしれません．コンピュータを使わない証明にはこれまでにないようなまったく新しいアイディアが必要になると思われるのですが，そうしたアイディアは今日もなお登場していないのです．

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