４次元正５胞体を２次元平面上に直投影するとその外形は正三角形，正方形，正五角形など様々に変化する．とくに正五角形に中にすべての対角線を入れた図はペンタグラムそのものとなる．４次元正５胞体を３次元空間内に直投影した立体図形でもさまざまに変化する外殻の中に１種類だけの正多面体が集まる３次元立体が得られる．
乙部住職の立体ペンタグラムは，３次元空間に５点を配置して見る角度によって正三角形，正方形，正五角形に見えるものを作るという問題と捉えることもできる．
ところで円通寺のある南千住といえばかつてお化け煙突があった近くである．お化け煙突は見る角度によって２本にも３本にも４本にも見えるという不思議な煙突であった．乙部住職の「立体ペンタグラム」は３次元空間の「お化け煙突」という面白い話題であるが，（その１）ではいい製作方法が思いつかなかった．しかも，正５胞体を等辺等角のまま変形させて３次元に退化させようとしたところ，３次元を通り越して一気に２次元まで退化してしまったのだ．
そこで，今回のコラムでは８０余才にしてなおエネルギッシュな乙部住職から立体ペンタグラムの製作法をご教授いただき，それを解説することにした．
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【１】正５胞体の１点透視図
乙部住職から頂いた手紙には説明が微に入り細にわたって整然と書き込まれていて，それを読んですぐに疑問が氷解した．私が正５胞体の直投影と思っていたのは，実は平行投影ではなく１点透視図であるとあったからである．
［☆］私の考えた方法は２次元平面上に直投影するとその外形が正五角形になることより，３次元空間に投影された５点を
Ｐ0（1，0，0）
Ｐ1（cos(2π/5)，sin(2π/5)，ｚ1）
Ｐ2（cos(4π/5)，sin(4π/5)，ｚ2）
Ｐ3（cos(6π/5)，sin(6π/5)，ｚ3）
Ｐ4（cos(8π/5)，sin(8π/5)，ｚ4）
とするものであったが，その際，ｚ2＝ｚ3＝０，ｚ1＝ｚ4とおいたことがつまずきの原因であった．乙部住職の方法をこの方法に従って表記すると
ｚ3＝−ｚ2，ｚ4＝−ｚ1
となる．
［△］ここで，３点（Ｐ0，Ｐ2，Ｐ3）が正三角形をなすとするとＰ0Ｐ2＝Ｐ2Ｐ3であるから
(ｃｏｓ(4π/5)-1)^2＋(ｓｉｎ(4π/5))^2＋ｚ2^2=(2ｓｉｎ(4π/5))^2＋(2ｚ2^2）^2
ｚ2^2＝−(ｓｉｎ(4π/5))^2＋(ｃｏｓ(4π/5)-1)^2/3
→ ｚ2＝０．８６３３３８
［□］また，直投影するとその外形が正方形になることよりＰ2Ｐ3＝Ｐ1Ｐ4，したがって，
(2ｓｉｎ(4π/5))^2＋(2ｚ2^2）^2=(2ｓｉｎ(2π/5))^2＋(2ｚ1^2）^2
→ ｚ1＝−０．４３１６６９
以上より
Ｐ0(1,0,0)
Ｐ1(0.309018,0.951059,-0.43166)
Ｐ2(-0.808016,0.587787,0.863338)
Ｐ3(-0.809019,-0.587783,-0.863338)
Ｐ4(0.309013,-0.951058,0.431661)
が得られる．
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【２】雑感
ここで説明した方法は投影図が☆△□に見えるということから発想したいわば「お化け煙突」的解法である．乙部住職のオリジナルの方法は「正５胞体の投影図」からきているので，□のところの計算は必ずしも乙部住職の意に沿うものではないと思われるが，結果的にはほとんど同じ答えが得られているはずである．
正５胞体の直投影では，ある辺が正三角形の重心（中線の２：１内分点）を直角に通るのだが，乙部住職の１点透視図法では，正五角形との関係からこの辺が１：φ内分点を通るように移動させている．しかし，なかには直投影されている点もあり「特殊な直投影」と考えることもできるだろう．
ともあれ，乙部住職の１点透視図法を証明するのは難しくはないが，そのアイディアを発見するのは易しくはなかったであろうと推察される．４次元立体を投影するという困難にあえて立ち向かった氏に素直に敬意を表したい．
なお，この「立体ペンタグラム」は約１０年くらい前に名古屋で開かれた展覧会のミュージアムショップで売られる品物として出品されたことがあるそうである．また，この模型は既に東京大学数理研究所に学術資料としてその他の４Ｄ多胞体模型とともに寄贈済みとのことである．４Ｄ多胞体の写真は
石井源久・山口哲「高次元図形サイエンス」，京都大学学術出版会
の３０−３１ページでみることができる．
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