置換多面体の場合・・・Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　正軸体版の場合・・・・Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

として，面数公式は

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)Ｎj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)　　　（ｋ≦ｎ−２）

ときれいな形にまとまった．これを一段，上の段だけを使った形に変形できないだろうか？

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　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)（ｎ＋１，ｊ＋１）

＝Σ(j=1~k)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)（ｎ＋１，ｊ＋１）＋ｆk^(n-1)（ｎ＋１，１）

＝Σ(j=1~k)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)｛（ｎ，ｊ＋１）＋（ｎ，ｊ）｝＋ｆk^(n-1)（ｎ＋１，１）

　　ｆk^(n-1)＝Σ(j=0~k)ｆ(k-j)^(n-2ｰj)（ｎ，ｊ＋１）

　　ｆ(k-1)^(n-1)＝Σ(j=0~k-1)ｆ(k-1-j)^(n-2ｰj)（ｎ，ｊ＋１）

　　ｆ(k-1)^(n-1)＝Σ(j=1~k)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)（ｎ，ｊ）

　　ｆk^(n)＝Σ(j=1~k)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)（ｎ，ｊ＋１）＋ｆ(k-1)^(n-1)＋ｆk^(n-1)（ｎ＋１，１）

となって，直上の段が一段だけがわかっても芋づる式に求めることはできないのである．

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　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)（ｎ＋１，ｊ＋１）

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)｛（ｎ，ｊ＋１）＋（ｎ＋ｊ）｝

としても

　　ｆk^(n-1)＝Σ(j=0~k)ｆ(k-j)^(n-2ｰj)（ｎ，ｊ＋１）

　　ｆ(k-1)^(n-1)＝Σ(j=0~k-1)ｆ(k-1-j)^(n-2ｰj)（ｎ，ｊ＋１）

同様の結果である．

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