置換多面体の場合・・・Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　正軸体版の場合・・・・Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

として，面数公式は

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)Ｎj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)　　　（ｋ≦ｎ−２）

ときれいな形にまとまった．このような式は成立しないだろうか？

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【１】Ａnのボロノイ細胞の要素数

　　ｆk^(n)＝２（２^k+1−１）（ｎ＋１，ｋ＋２）

　しかし，

　　（ｎ＋１，ｋ＋２）＝（ｎ＋１，ｋ＋１）・（ｎ−ｋ）／（ｋ＋２）＝Ｎ（ｎ−ｋ）／（ｋ＋２）

はＮＧそうだ．

　　（ｎ，ｋ＋２）＋（ｎ，ｋ＋１）＝（ｎ＋１，ｋ＋２）

を使うしかない．

　　ｆk^(n-1)＝２（２^k+1−１）（ｎ，ｋ＋２）

　　ｆk-1^(n-1)＝２（２^k−１）（ｎ，ｋ＋１）

　　ｆk^(n)＝２（２^k+1−１）（ｎ＋１，ｋ＋２）

＝２（２^k+1−１）｛（ｎ，ｋ＋２）＋（ｎ，ｋ＋１）｝

＝２（２^k+1−１）（ｎ，ｋ＋２）＋２（２^k+1−１）（ｎ，ｋ＋１）

　　２（２^k+1−１）＝４（２^k−１）＋２

　　ｆk^(n)＝２（２^k+1−１）（ｎ＋１，ｋ＋２）

＝ｆk^(n-1)＋２ｆk-1^(n-1)＋２（ｎ，ｋ＋１）

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（１２，２４，１４）→存在（１０１）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（２０，６０，７０，３０）→存在（１００１）

ｎ＝４，ｋ＝０：　２０＝１２＋２・４

ｎ＝４，ｋ＝１：　６０＝２４＋２・１２＋２・６

ｎ＝４，ｋ＝２：　７０＝１４＋２・２４＋２・４

ｎ＝４，ｋ＝３：　３０＝２・１４＋２・１

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　これで一段，上の段がわかれば芋づる式に求められることがわかった．さらに上の段をめざすと

　　ｆk^(n)＝２（２^k+1−１）（ｎ＋１，ｋ＋２）

＝ｆk^(n-1)＋２ｆk-1^(n-1)＋２（ｎ，ｋ＋１）

　　ｆk-1^(n-1)＝２（２^k−１）（ｎ，ｋ＋１）

＝ｆk-1^(n-2)＋２ｆk-2^(n-2)＋２（ｎ−１，ｋ）

より，

　　ｆk^(n)＝２（２^k+1−１）（ｎ＋１，ｋ＋２）

＝ｆk^(n-1)＋２ｆk-1^(n-2)＋４ｆk-2^(n-2)＋４（ｎ−１，ｋ）＋２（ｎ，ｋ＋１）

　さらに，

　　ｆk-2^(n-2)＝２（２^k-1−１）（ｎ−１，ｋ）

＝ｆk-2^(n-3)＋２ｆk-3^(n-4)＋２（ｎ−２，ｋ−１）

より，

　　ｆk^(n)＝２（２^k+1−１）（ｎ＋１，ｋ＋２）

＝ｆk^(n-1)＋２ｆk-1^(n-2)＋４ｆk-2^(n-3)＋８ｆk-3^(n-4)＋８（ｎ−２，ｋ−１）＋４（ｎ−１，ｋ）＋２（ｎ，ｋ＋１）

となるが，これで止めておこう．

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