直角三角形では斜辺をｃ，他の二辺をａ，ｂとすると，ピタゴラスの定理「ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2」が成り立つことはよく知られています．特に，三辺の長さが整数である直角三角形をピタゴラス三角形といいます．３元２次の不定方程式ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2の整数解を求める問題をピタゴラスの問題といいますが，（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７），・・・などがその解です．

　ピタゴラス三角形は無限にあり，その一般形にはいくつかの変形がありますが，ｍ，ｎを整数，ｋを相似係数として

　　ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝２ｋｍｎ，ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｎ^2）

が形も簡単で広く用いられています．

　各辺と空間対角線が自然数になる直方体ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2は恒等式

ａ＝ｋ（ｌ^2＋ｍ^2−ｎ^2）／ｎ，ｂ＝２ｋｌ，ｃ＝２ｋｍ，ｄ＝ｋ（ｌ^2＋ｍ^2＋ｎ^2）／ｎ

で与えられます．ただし，ｎはｌ^2＋ｍ^2の約数でｎ＜√（ｌ^2＋ｍ^2）でなければなりません．一つの文字だけの恒等式

　　ｎ^2（ｎ＋１）^2＋ｎ^2＋（ｎ＋１）^2＝（ｎ^2＋ｎ＋１）^2

によっても無数に解が求まります．

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【１】整数のレンガ問題

　その次に問題になるのは，すべての辺と空間対角線と各面の対角線が自然数で表されるような直方体が存在するかどうかということです．このレンガには７つの未知数があります．

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｄ^2

　　ａ^2＋ｃ^2＝ｅ^2

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｆ^2

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｇ^2

　空間対角線だけが整数でない最小のレンガはオイラーによって辺が４４，１１７，２４０のものであることが示されています．

　ａ＝２４０，ｂ＝４４，ｃ＝１１７，ｄ＝２４４，ｅ＝２６７，ｆ＝１２５，

　ｇ＝２７０．６０１１８

［注］１７１９年にドイツ人会計士ハルケが見つけたといわれている．

　最近まで，当該の「整数のレンガ」問題には解があるともわかっていませんでしたし，問題を解くこと自体が不可能だとも証明されていませんでした．すなわち，この問題は最近まで未解決のディオファントス問題のうち，最も難しく悪名の高いものになっていましたが，１９７２年，スポーンが空間対角線も整数になるものは存在しないことを証明しました．さらに，２０００年，ルーティは頂点間の距離がどれも整数になるような直方体は存在しないことを証明しました．数百年解かれず残っていた問題をやっと証明したのです．

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【２】完全平行六面体

　一方，２００４年，ソーヤーとライターは（完全直方体でなく）面が平行四辺形の完全平行六面体が存在することを証明しました．

　　辺の長さ：２７１，１０６，１０３

　　面対角線（短）：１０１，２６６，２５５

　　面対角線（長）：１８３，３１２，３２３

　　体対角線：３７４，３００，２７８，２７２

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