リー型の単純群は，無限個ある．Ａ型からＧ型まで７種類あるとしてよく，さらにまた１６種類に細分することができる．

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　ドイツのキリングとフランスのカルタンのよる単純リー群（詳しくは複素コンパクト型単純リー群，古典線形群はみな含まれる）の分類の成功が大きな影響を与えた．既約ルート系の分類の基づいて，複素単純リー代数の分類を行ったものがカルタンの分類定理であり，それは『いかなる複素単純リー代数もＡk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のものに限られる．』というもので，Ａk，Ｂk，Ｃk，Ｄk型の複素単純リー代数は古典型，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のものは例外型と呼ばれる．

　階数１のルート系はＡ1の１種類に限られ，既約である．また，階数２のルート系はＡ1×Ａ1，Ａ2，Ｂ2，Ｇ2の４種類に限られる．Ａ2型，Ｂ2型，Ｇ2型のルート系は既約であるが，Ａ1×Ａ1型のルート系は既約でない．階数ｎの既約ルート系は，Ａk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のいずれかなのである．

　ここで，複素単純リー代数の階数と次元との関係を表にしておく．

　　(1)Ａk（ｋ≧１）　同次特殊線形群，k(k+2)次元

　　(2)Ｂk（ｋ≧２）　直交群，2k+1変数の２次形式，k(2k+1)次元

　　(3)Ｃk（ｋ≧３）　斜交群，2k変数のパッフ形式，k(2k+1)次元

　　(4)Ｄk（ｋ≧４）　直交群，2k変数の２次形式，k(2k-1)次元

　　(5)Ｅ6　　　　　　７８次元

　　(6)Ｅ7　　　　　　１３３次元

　　(7)Ｅ8　　　　　　２４８次元

　　(8)Ｆ4　　　　　　５２次元

　　(9)Ｇ2　　　　　　１４次元

（カルタンによりコンパクト単純リー群は，例外的なものを除き，Ａ型，Ｂ型，Ｃ型，Ｄ型の４系列をなしていることが知られているが，そのうちの２系列

　　Ｂ型　　　ＳＯ（２ｎ−１）（ｎ≧２）

　　Ｄ型　　　ＳＯ（２ｎ）　　（ｎ≧３）

は回転群である．Ｂ型とＤ型はそれぞれ奇数次元と偶数次元の実ユークリッド幾何に対応している．なお，ｎ＝４が例外であることがこのことからもみてとれる．）

　幾何学に群を積極的に応用することを最初に主張したのがクラインのエルランゲン・プログラム「空間内の距離を変えない変換は，群（合同変換群）をなす．幾何学とは合同変換群で不変な図形の性質を研究する分野である．」である．

　単純リー群には９つの型がある．それらはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名づけられた４つの無限系列とＥ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2と名づけられた５つの例外群であった．キリングやカルタンの研究は面白い幾何学がどれだけできるかという設問に対する解答でもあり，大ざっぱにいえば，Ａ型が複素ユニタリ幾何，Ｂ型とＤ型がそれぞれ奇数次元と偶数次元の実ユークリッド幾何，Ｃ型が４元数上の幾何学，５つの例外型は８元数上の幾何学に対応しているのである．

　４つの古典群，５系列の例外群，さらにそのうちで対称性をもつＡ，Ｄ，Ｅ6，Ｄ4の４系列，疑似対称性をもつＢ2，Ｇ2，Ｆ4の３系列で１６系列，素数位数の巡回群と交代群も含めて総計１８系列に細分される．

　　・−・・・・・−・　　（Ａn：ｎ≧２のとき位数２の自己同型がある）

・

　　　　　　　　　／

　　・−・・・・・　　　　（Ｄn：ｎ≧４のとき位数２の自己同型がある）

　　　　　　　　　＼

　　　　　　　　　　・

　　　　　　３

　　　　　／

　　１−２　　　　（Ｄ4：位数３の自己同型がある）

＼

　　　　　　４

　　　　　　４

　　　　　 ｜

　　１−２−３−５−６　　（Ｅ6：位数２の自己同型がある）

　　１＝２　（Ｂ2）　　１≡２　（Ｇ2）　　１−２＝３−４　（Ｆ4）

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