ユークリッド空間の有限群（正多面体）または無限離散群（空間充填形）になるのは，４つの無限系列と６つの例外的な場合に限る．

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【１】双対性とルート系

　３次元には５つの正多面体（プラトン立体）がある．リストアップすると，正４面体，立方体，正８面体，正１２面体，正２０面体である．正４面体はそれ自身と双対であり，立方体は正８面体と，正１２面体は正２０面体と双対である．

４次元空間の正多胞体

　　　　　　境界多面体　　頂点数　　双対性　　　　　　　　　３次元対応

５胞体　　　正４面体　　　　　５　　自己双対（非中心対称）　正４面体

８胞体　　　立方体　　　　　１６　　１６胞体と双対　　　　　立方体

１６胞体　　正４面体　　　　　８　　　８胞体と双対　　　　　正８面体

２４胞体　　正８面体　　　　２４　　自己双対（中心対称）

１２０胞体　正１２面体　　６００　　６００胞体と双対　　　　正１２面体

６００胞体　正４面体　　　１２０　　１２０胞体と双対　　　　正２０面体

　４次元には６種類の正多胞体がある．正８胞体（４次元立方体）のほか，

　　正５胞体（４次元正４面体：自己双対）

　　正１６胞体（４次元正８面体）

　　正２４胞体（相当する正多面体はない：自己双対）

　　正１２０胞体（４次元正１２面体）

　　正６００胞体（４次元正２０面体）

である．正８胞体と正１６胞体，正１２０胞体と正６００胞体は互いに双対，正５胞体と正２４胞体はそれぞれ自分自身に双対である．

ｎ次元空間の正多胞体（ｎ≧５）

　　　　　　　　境界胞体　　　　頂点　　　双対性　　対応

（ｎ＋１）胞　　ｎ胞体　　　　　ｎ＋１　　自己双対　正４面体・５胞体

２ｎ胞体　　（２ｎ−２）胞体　　２^n　　　２^n胞体　立方体・８胞体

２^n胞体　　　　ｎ胞体　　　　　２ｎ ２ｎ胞体　正８面体・１６胞体

　双対性からみて，正４面体，正６面体，正８面体の多次元への拡張はわかりやすいと思われるが，３次元空間の正１２面体，正２０面体，４次元空間の２４胞体，１２０胞体，６００胞体は，より高次元においては対応するものをもたない．しかし，それよりも，三次元の場合はこれらの他に２つの正多面体＜正十二面体と正二十面体＞があり，四次元の場合は他に３つ＜正２４胞体，正１２０胞体，正６００胞体＞あるといったほうがわかりやすいだろう．

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　ここで最も気になるのが正２４胞体である．正２４胞体に相当する３次元正多面体はない．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからである．

　すなわち，正２４胞体（２４胞，正３角形のみからなる９６面，９６辺，２４頂点）こそが，四次元特有の物体であると考えられるのであるが，正２４胞体は，四次元空間で三次元空間の立方体にあたる正八胞体（８胞，２４面，３２辺，１６頂点）と正八面体にあたる正十六胞体（１６胞，３２面，２４辺，８頂点）を重ねてできることから，その意味で４次元版の菱形十二面体に相当する．

　２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であって，例外中の例外といってもよいものであろう．この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがある．

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　平面を鏡映三角形で埋めつくす問題を一般の次元に拡張して，R^nの単体に置き換えて得られるベクトルの集合が一般の階数のルート系である．ルート系の分類は，それ自体大変面白いものらしいのであるが，既約ルート系の同型類には，Ａ型からＧ型までのアルファベットに，添字として階数をつけた名前が付いていて，Ｅ8型ルート系などと呼ぶ習慣になっている．

　すなわち，ルートは鏡映を与えるベクトルとして理解することができるのであるが，８次元ユークリッド空間において，８次元単体（４面体の拡張）を鏡映したものからなるモザイク模様に対してベクトルの集合を考えることによって，たとえば，Ｅ8型ルート系が得られるというわけである．

　それによれば，階数ｎの既約ルート系は，Ａk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のいずれかであり，既約ルート系の分類の基づいて，単純リー群を分類すると９つの型があり，それらはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名づけられた４つの古典型とＥ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2と名づけられた５つの例外型であった（カルタンの分類定理）．

　ルート系（リー型の単純群）はＡ型からＧ型まで７種類あるとしてよく，４つの古典群，５系列の例外群，さらにそのうちで対称性をもつＡ，Ｄ，Ｅ6，Ｄ4の４系列，疑似対称性をもつＢ2，Ｇ2，Ｆ4の３系列で１６系列に細分することができる．

　　・−・・・・・−・　　（Ａn：ｎ≧２のとき位数２の自己同型がある）

・

　　　　　　　　　／

　　・−・・・・・　　　　（Ｄn：ｎ≧４のとき位数２の自己同型がある）

　　　　　　　　　＼

　　　　　　　　　　・

　　　　　　３

　　　　　／

　　１−２　　　　（Ｄ4：位数３の自己同型がある）

＼

　　　　　　４

　　　　　　４

　　　　　 ｜

　　１−２−３−５−６　　（Ｅ6：位数２の自己同型がある）

　　１＝２　（Ｂ2）　　１≡２　（Ｇ2）　　１−２＝３−４　（Ｆ4）

　ｎ次元正単体とｎ次元立方体の対称群は，それぞれＡn-1，Ｂn（Ｃn）で表されるのだが，２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られている．２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているらしく，この点もまた注目すべきものである．

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