線分と三角形および四面体（三角錐）はそれぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形ですが，次元数ｎより１つ多い（ｎ＋１）個の頂点によって作られる図形をシンプレックス（単体）と呼びます．線分は１次元単体，三角形は２次元単体，三角錐は３次元単体とも呼ばれます．
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【１】六斜術
「六斜術」とは平面三角形ＡＢＣの６本の線分間の等式を意味する「和算用語」です．平面三角形ＡＢＣにおいて，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃとおき，平面上の点Ｐに対してＰＡ＝ｄ，ＰＢ＝ｅ，ＰＣ＝ｆとするとき
ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）
＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）
＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）
＝ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2
が成立します．
一見複雑ですが，左辺は相対する線分の２乗の積に，他の線分の２乗の和から自分自身の２乗を引いた量をかけた和
ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）
＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）
＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）
であり，右辺は４個の三角形の周辺３本の２乗の積の和
ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2
です．
（証）∠ＢＰＣ＝α，∠ＣＰＡ＝∠β，∠ＡＰＢ＝γとおく．このとき
ｃｏｓγ＝ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ−ｓｉｎαｓｉｎβ
両辺を平方すると
ｃｏｓ^2α＋ｃｏｓ^2β＋ｃｏｓ^2γ＝２ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγ＋１
第２余弦定理より
ｃｏｓα＝（ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2）／２ｅｆ
ｃｏｓβ＝（ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2）／２ｆｄ
ｃｏｓγ＝（ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2）／２ｄｅ
を代入して整理すると当該の形になる．
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【２】ヘロンの公式
和算家の証明方法は三角関数の性質を使わないのでかなり複雑だそうです．ところで，六斜術の特別な場合として，点Ｐを外心にとり，外接円の半径をＲとすると
ｄ＝ｅ＝ｆ＝Ｒ
これを六斜術の公式に代入すると
Ｒ^2｛ａ^2（Ｒ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）
＋ｂ^2（Ｒ^2＋ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2）
＋ｃ^2（Ｒ^2＋ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）｝
＝ａ^2ｂ^2ｃ^2＋Ｒ^4（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）
整理すると
Ｒ^2（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）＝ａ^2ｂ^2ｃ^2
となって，外接円の半径Ｒを３辺の長さで表すことができます．
また，三角形の面積をＳとすると
（４Ｓ）^2＝２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4
となり，この公式は正弦定理より得られる周知の公式
４ＲＳ＝ａｂｃ
と同じことがわかります．なお，内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Ｓで表すると
Ｓ＝ｒ（ａ＋ｂ＋ｃ）／２，２ｒＳ＝ａ＋ｂ＋ｃ
４ＲＳ＝ａｂｃ
を用いて
Ｒ^2（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）＝ａ^2ｂ^2ｃ^2
を因数分解すると
（４Ｓ）^2＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）
ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと
Ｓ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）
となり，ヘロンの公式が得られます．
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【３】デカルトの円定理
六斜術の公式をさらに変形すると，互いに外接する４個の円の半径の逆数の間の等式
（Σ１／ｒi）^2＝２Σ（１／ｒi）^2 （デカルトの円定理）
が得られます．
デカルトの円定理より，三角形ＡＢＣにおいてＡ，Ｂ，Ｃを中心としてそれぞれ半径
ｒ1＝（−ａ＋ｂ＋ｃ）／２，ｒ2＝（ａ−ｂ＋ｃ）／２，ｒ3＝（ａ＋ｂ−ｃ）／２
の円を描くとそれらは互いに外接することがわかります．
（Ｑ）互いに外接する３個の円（半径ｒ1，ｒ2，ｒ3）がある．これらすべてに外接する円の半径ｒを求めよ．
（Ａ）ｒ＝ｒ1ｒ2ｒ3／｛ｒ1ｒ2＋ｒ2ｒ3＋ｒ3ｒ1＋２√ｒ1ｒ2ｒ3（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3）｝
＝１／｛１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋２√（１／ｒ1ｒ2＋１／ｒ2ｒ3＋１／ｒ3ｒ1）｝
相異なる２つの球面Ｓ1，Ｓ2の中心をｘ1，ｘ2，半径をｒ1，ｒ2とするとき，Ｓ1，Ｓ2が接するための必要十分条件は
｜ｘ1−ｘ2｜＝｜ｒ1±ｒ2｜
となることである．±は外接か内接かに対応している．
一般にＲ^n内の互いに接するｎ＋２個の球面の系があるとする．このとき，接点がすべて異なるならばこれらｎ＋２個の球面はすべて外接するか，または，ある球面が他のｎ＋１個の球面を含むことになる．このような互いに接するｎ＋２個の球面の系については，球面の半径の逆数に関する単純な等式がある．
（Σ１／ｒi）^2＝ｎΣ（１／ｒi）^2
ただし，Ｓjが他の球面をすべて含むときはｒj＝−（Ｓjの半径）とする．このようにすることで，接する２つの球面間の距離が常に｜ｘi−ｘj｜＝｜ｒi＋ｒj｜で表される．
ｎ＝２の場合，互いに外接する４個の円の半径の逆数の間の等式
（Σ１／ｒi）^2＝２Σ（１／ｒi）^2
が成立し
（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋１／ｒ）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）
１／ｒ^2＋２／ｒ（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3）＋（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）
１／ｒ^2−２／ｒ（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3）−（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）＋２（１／ｒ1ｒ2＋１／ｒ2ｒ3＋１／ｒ3ｒ1）＝０
この２次方程式を整理すると（Ａ）と同じ式が得られる（デカルトの円定理）．ｎ＝２，３の場合は和算家達によっても得られていた（デカルトの円定理の拡張）．
（Ｑ）与えられた円（半径Ｒ）の内部に互いに外接する３個の等円（半径ｒ）があるとき，ｒを求めよ．
（Ａ）この場合は
（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋１／ｒ）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）
において，ｒ1＝ｒ2＝ｒ3＝ｒ，ｒ＝−Ｒとする． → ｒ＝（２√３−３）Ｒ
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【４】オイラーの四面体公式（空間のヘロンの公式）
この節で取り上げるのは，四面体についてのオイラーの問題「６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで，与えられた４面体の体積を求めよ」です．
２つのベクトルａ↑，ｂ↑を基底とする平行体（平行四辺形）の面積は，外積は
ａ↑×ｂ↑
３つのベクトルａ↑，ｂ↑，ｃ↑を基底とする平行体（平行六面体）の体積は，スカラー三重積
（ａ↑×ｂ↑）・ｃ↑
すなわち，外積ａ↑×ｂ↑とベクトルｃ↑の内積で与えられます．
｜ａ↑｜＝ａ，｜ｂ↑｜＝ｂとすれば，平行四辺形の面積は，
Ｓ＝ａｂｓｉｎθ
ですから，
Ｓ^2＝ａ^2ｂ^2（１−ｃｏｓ^2θ）
＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2
＝｜ａ↑・ａ↑ ａ↑・ｂ↑｜
｜ｂ↑・ａ↑ ｂ↑・ｂ↑｜
同様に，平行六面体の体積は
Ｖ^2＝｜ａ↑・ａ↑ ａ↑・ｂ↑ ａ↑・ｃ↑｜
｜ｂ↑・ａ↑ ｂ↑・ｂ↑ ｂ↑・ｃ↑｜
｜ｃ↑・ａ↑ ｃ↑・ｂ↑ ｃ↑・ｃ↑｜
で与えられます．
これらのように，内積の行列式で定義される行列式をグラムの行列式（グラミアン）といいます．平行体の面積・体積はグラミアンの平方根に等しくなるというわけです．
また，座標を使って表せば，ｎ＋１個の点の座標に（１，１，１，・・・，１）を加えて作られる（ｎ＋１）次の行列式の絶対値になります．
｜Ｓ｜＝｜１ ｘ1 ｙ1｜ ｜Ｖ｜＝｜１ ｘ1 ｙ1 ｚ1｜
｜１ ｘ2 ｙ2｜ ｜１ ｘ2 ｙ2 ｚ2｜
｜１ ｘ3 ｙ3｜ ｜１ ｘ3 ｙ3 ｚ3｜
｜１ ｘ4 ｙ4 ｚ4｜
原点が含まれるときは，
｜Ｓ｜＝｜ｘ1 ｙ1｜ ｜Ｖ｜＝｜ｘ1 ｙ1 ｚ1｜
｜ｘ2 ｙ2｜ ｜ｘ2 ｙ2 ｚ2｜
｜ｘ3 ｙ3 ｚ3｜
のように展開されます．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
これらはそれぞれｎ次元単体の体積のｎ！倍になりますから，三角形の面積，四面体の体積は，
Ｓ’＝Ｓ／２
Ｖ’＝Ｖ／６
また，４辺の長さがａ，ｂ，ｃで与えられた三角形，６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられた四面体の場合は，
２^2（２！）^2Ｓ’^2＝｜０ ａ^2 ｂ^2 １｜
｜ａ^2 ０ ｃ^2 １｜
｜ｂ^2 ｃ^2 ０ １｜
｜１ １ １ ０｜
２^3（３！）^2Ｖ’^2＝｜０ ａ^2 ｂ^2 ｃ^2 １｜
｜ａ^2 ０ ｄ^2 ｅ^2 １｜
｜ｂ^2 ｄ^2 ０ ｆ^2 １｜
｜ｃ^2 ｅ^2 ｆ^2 ０ １｜
｜１ １ １ １ ０｜
となります．
前者はおなじみの平面三角形のヘロンの公式にほかなりませんが，面積をＳ’＝Δとして，
（４Δ）^2＝２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）
ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと
Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）
となり，ヘロンの公式が得られます．
後者が空間のヘロンの公式であり，Ｖ’＝Δとして
（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）
＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）
＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）
−ａ^2ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｅ^2ｆ^2−ｄ^2ｂ^2ｆ^2−ｄ^2ｅ^2ｃ^2
この空間のヘロンの公式は，オイラーの公式と呼ばれるものですが，
（１２×体積）^2＝六斜術の両辺の差
に等しいということを主張しています．点Ｐが平面三角形ＡＢＣの平面上になく，４点が四面体の頂点をなすときの四面体の体積公式ですから，六斜術は四面体が平面上に退化して体積が０になった極限と解釈することができます．
オイラーの公式は複雑であり，平面三角形のヘロンの公式のように因数分解できません．ただし，４面の面積が等しい等積四面体＝４面が合同な鋭角三角形よりなる四面体（バンの定理）の場合，
７２Δ^2＝（−ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2−ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）
と因数分解した形で表されます．
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【５】正５胞体と五角形
４次元空間の単体（５胞体）の体積は係数１／２４を除いて行列式
２４｜Ｖ｜＝｜１ １ １ １ １ ｜
｜ｘ11 ｘ21 ｘ31 ｘ41 ｘ51｜
｜ｘ12 ｘ22 ｘ32 ｘ42 ｘ52｜
｜ｘ13 ｘ23 ｘ33 ｘ43 ｘ53｜
｜ｘ14 ｘ24 ｘ34 ｘ44 ｘ54｜
で表されます．
ここで，右辺の第ｉ列から第ｉ＋１列を引く操作をｘｉ＝１，２，３，４の順に繰り返すと
２４｜Ｖ｜＝｜ｘ11−ｘ21 ｘ21−ｘ31 ｘ31−ｘ41 ｘ41−ｘ51｜
｜ｘ12−ｘ22 ｘ22−ｘ32 ｘ32−ｘ42 ｘ42−ｘ52｜
｜ｘ13−ｘ23 ｘ23−ｘ33 ｘ33−ｘ43 ｘ43−ｘ53｜
｜ｘ14−ｘ24 ｘ24−ｘ34 ｘ34−ｘ44 ｘ44−ｘ54｜
この転置行列を右からかけると
２４^2Ｖ^2＝｜Σ（ｘik−ｘi+1k）（ｘjk−ｘj+1k）｜
＝｜ａi↑・ａj↑｜
すなわち，グラミアンで与えられます．
さらにここで正５胞体（各辺の長さを１，各内角をθ）とすると，
ａi↑・ａi↑＝１，ａi↑・ａi+1↑＝ｃｏｓ（π−θ）＝−ｃｏｓθ
後者をｘとおくと，ｘ＋ｙ＝−１／２なるｘ，ｙについて
２４^2Ｖ^2＝｜１ ｘ ｙ ｙ｜
｜ｘ １ ｘ ｙ｜
｜ｙ ｘ １ ｘ｜
｜ｙ ｙ ｘ １｜
となります．
この行列式はｘ，ｙについて対称式であり，
ｘ^4−２ｘ^3ｙ−ｘ^2ｙ^2＋ｙ^4＋４ｘ^2ｙ＋４ｘｙ^2−３ｘ^2−３ｙ^2＋１
と展開されます．これが
（ｘ^2−３ｘｙ＋ｙ^2＋ｘ＋ｙ−１）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2−ｘ−ｙ−１）
さらに，黄金比：τ＝（√５＋１）／２，τ^(-1)＝（√５−１）／２を用いると
（τｘ−τ^(-1)ｙ−１）（τ^(-1)ｘ−τ^(-1)ｙ＋１）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2−ｘ−ｙ−１）
と因数分解できます．これは計算機による数式処理の初歩の演習問題といえるでしょう．
この正５胞体が３次元に退化する条件は
Ｖ＝０，ｘ＋ｙ＝−１／２
を解くことにより，
ｘ＝（√５−１）／４，−（√５＋１）／４
すなわち，
θ＝１０８°（正五角形）または３６°（星形五角形）
となり，３次元を通り越して一挙に２次元まで退化してしまいます．すなわち，正５胞体は平面の正五角形と星形五角形の中間の４次元図形と解釈できるというわけです．
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