無限級数が現れる問題に「多重反射」の問題がある．

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【１】算術的方法

　薄いガラス板があって，それに光があたると一部は透過し一部は反射される．２枚のガラス板が平行に置かれている場合，第１のガラス板で一部は透過し一部は反射される．透過した光は，第２のガラス板で一部は透過し一部は反射される．反射された光は，第１のガラス板に戻って一部は透過し一部は反射される．そこで反射された光は再び第２のガラス板に戻ることになる．

　光の強度をＩ0，透過率をｔ，反射率をｒ（ｔ＋ｒ）＝１とすると，

［１］反射した光の強度は

　　ｒＩ0＋ｒｔ^2Ｉ0＋ｒ^3ｔ^2Ｉ0＋ｒ^5ｔ^2Ｉ0＋ｒ^7ｔ^2Ｉ0＋・・・

＝ｒＩ0＋ｒｔ^2Ｉ0｛１＋ｒ^2＋ｒ^4＋ｒ^6＋・・・｝

＝ｒＩ0＋ｒｔ^2Ｉ0／（１−ｒ^2）

＝２ｒＩ0／（１＋ｒ）

［２］透過した光の強度は

　　ｔ^2Ｉ0＋ｒ^2ｔ^2Ｉ0＋ｒ^4ｔ^2Ｉ0＋ｒ^6ｔ^2Ｉ0＋ｒ^8ｔ^2Ｉ0＋・・・

＝ｔ^2Ｉ0｛１＋ｒ^2＋ｒ^4＋ｒ^6＋・・・｝

＝ｔ^2Ｉ0／（１−ｒ^2）

＝（１−ｒ）Ｉ0／（１＋ｒ）

　結局，２枚のガラス板全体としての反射率，透過率はそれぞれ

　　Ｒ＝２ｒ／（１＋ｒ）

　　Ｔ＝（１−ｒ）／（１＋ｒ）

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【２】代数的方法

　それでは，ｎ枚のガラス板全体としての反射率，透過率はどうなるだろうか？

　２枚のガラス板の場合，無限級数を使ったが，算術的な方法でなく，代数的な方法を用いてみよう．

　順方向の光の流れをＩ，逆方向のをＪとすると，

　　Ｉk＝ｔＩk-1＋ｒＪk

　　Ｊk-1＝ｒＩk-1＋ｔＪk

　キルヒホッフの法則より

　　Ｉk＋Ｊk-1＝Ｉk-1＋Ｊk

　　Ｉk−Ｊk＝Ｉk-1−Ｊk-1＝・・・＝Ｉ0−Ｊ0＝Ｉn＝Ｓ

　前式に代入すると

　　Ｉk＝Ｉk-1−ｒＳ／ｔ

　　Ｉn＝Ｉ0−ｎｒＳ／ｔ＝Ｓ

　　Ｉn＝Ｉ0／（１＋ｎｒ／ｔ）

（答）

　　Ｒ＝ｎｒ／（ｎｒ＋ｔ）

　　Ｔ＝ｔ／（ｎｒ＋ｔ）

　　Ｒ＋Ｔ＝１

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　算術的方法は直観的でストレートであるが，いささか複雑であるのに対し，代数的方法はスマートであるように見えるかもしれない．

　先月，京都大学数理解析研究所で行われた「タイル張り力学系とその周辺」の研究会で，

　　space filling semi-regular polytopes and their Wythoff arithmetic

を講演．

　そこでは幾何学的な方法や多面体的組み合わせ論の方法を用いて，空間充填準正多胞体の諸量の計算結果について発表したところ，参席のムーディー先生からいろいろなサジェスチョンを賜った．

　コクセターが整理した群論的な方法を使って，計量を行うことができるのではというものであったが，「ワイソフ算術」を使えばｆ0，ｆ1，ｆn-1の計量は容易に可能となることを申し添えておきたい．（算術的方法の勝ち？）

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