∫(0,z)1/(1-x^3)^(1/2)dx

のような楕円積分は既に昔から深く研究されています．例えば，第１種楕円積分の標準形（ヤコビの形）

　 F(k,φ)=∫(0,φ)dθ/(1-k^2sin^2θ)^(1/2)

を使うと

　　∫(0,z)1/(1-x^3)^(1/2)dx＝１／4√３Ｆ（ｋ，φ）

　　φ＝ａｒｃｃｏｓ（（√３−１＋ｘ）／（√３＋１−ｘ））

　　ｋ＝（√３＋１）／２√２

と表されます．

　　一松，数学公式�T，ｐ１４８，岩波

　ただし，このままでは母数

　　ｋ＝（√３＋１）／２√２

が１に近くて扱いが不便かもしれません．むしろ，ワイエルシュトラスの標準形

　 ∫(∞,0)du/(4u^2-g2u-g3)^(1/2)

の特別な場合として扱ったほうが容易かもしれません．

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　再度，

　　Ｉ＝∫(c,1)ｄｘ／（１−ｘ^3）^1/2

を考える．

　変換

　　ｘ＝１＋√３（ｙ−１）／（ｙ＋１）

により，ｘ＝ｃに対するｙの値を

　　ｙ1＝（ｃ−１＋√３）／（−ｃ＋１＋√３）

とおくと

　　Ｉ＝１／4√３∫(y1,1)２ｄｙ／（（１−ｙ^2）（２−√３＋（２＋√３）ｙ^2）^1/2

　ここで，ｙ^2＝１−ｚ^2，ｚ1^2＝１−ｙ1^2とおくと第１種楕円積分

　　Ｉ＝１／4√３∫(0,z1)ｄｚ／（（１−ｚ^2)（１−ｋ^2ｚ^2）^1/2＝１／4√３Ｆ（ｋ，φ1）

となる．ただし，

　　ｋ＝（√２＋√６）／４，ｓｉｎφ1＝ｚ1

　ちなみに，

　　∫(c,1)ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2＝１／√２Ｆ（ｋ，φ1）

　　ｋ＝１／√２

　　φ1＝ａｒｃｃｏｓ（ｃ）

　　レムニスケートの全長は４ａ／√２Ｋ（１／√２）

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