多様体とは，各点の近傍が局所的なユークリッド空間になっていて，全体としては様々な性質をもつ図形を意味します．ユークリッド幾何学（放物線幾何学），ボヤイ・ロバチェフスキー幾何学（双曲線幾何学），リーマン幾何学（楕円幾何学），この３種類の幾何学は大きく見るとそれぞれ異なっていますが，局所的に見るとほとんど変わりません．現在われわれが住んでいる宇宙もユークリッド的に見えますが，もっと大きく見ると非ユークリッド的であってもよいわけです．

　宇宙は曲がった空間であると考えられているのですが，宇宙全体を見渡すと，もしかしたら想像もつかないような３次元多様体になっているのかも知れません．ガウスがホーエル・ハーゲン，ブロッケン，インゼルスベルクの３つの山頂からなる巨大な三角形の測量に基づいて，この疑問に答えようとしていたことは有名な逸話になっています．

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　ガウス・ボンネの定理はチャーン（陳省身）によって高次元（２ｎ次元）に拡張されました．

　　曲率のパフィアンの積分＝（２π）^n×空間全体のオイラー数

　　２次元空間を扱うときｎ＝１

　境界をもたない偶数次元の空間のオイラー標数は２次元では穴の数を示します．各点における曲率がわかれば，この式から（少なくとも偶数次元の滑らかな）空間の形を知ることができるというわけです．

　この辺の事情はオイラー級数の場合とよく似ています．すなわち，すべての自然数に関する一般のオイラー級数

　　Σ１／ｎ^s ＝１／１^s＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・

はｓ＝１で調和級数となり無限大に発散しますが，ｓが２以上の偶数のとき，結果はすべて有理数×π^sになります．これに対して，ｓの奇数値に対する級数の取り扱いは難しく，オイラーやほかの著名な数学者の努力にもかかわらずいまだ未解決です．

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［補］オイラー数を曲率の積分で表すガウス・ボンネの定理は，２次元の曲面だけでなく，２ｎ次元（偶数次元の空間）でも有効です．これは，ポアンカレ・ホップの指数定理とも呼ばれています．

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