ガウス曲率は，

　　Ｋ＝１／Ｒ1Ｒ2

で定義されるが，球面三角形ＡＢＣにこのことをあてはめると，三角形の頂点の角度をα，β，γとおいて，球面三角形の面積は

　　Ｓ＝∫∫ＫｄＡ＝α＋β＋γ−π　　　（ガウス・ボンネの定理）

（球面凸ｎ角形に対しては，Ｓ＝α1＋α2＋・・・＋αn−（ｎ−２）π）

　たとえば，球体の上なら３つの内角が直角の三角形ができる．

　　内角の和＝π／２＋π／２＋π／２

より全曲率はπ／２．

　曲面の各点における曲率は１／Ｒ^2．球の表面積は４πＲ^2で，それを覆う直角三角形は８つ．各三角形の面積はπＲ^2／２．全曲率はこの面積に各点の曲率をかけてπ／２・・・これは先に記したπ／２に等しい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ガウス・ボンネの定理

　空間の不変量が特性数であり，特性数の最も簡単な例がオイラー標数であるのですが，特性類の理論は古くはガウス・ボンネの定理にその雛形を見いだすことができます．

　ガウス・ボンネの定理とは，

　　ガウス曲率の積分＝２π×オイラー数

で表されます．オイラー標数については，コラム「４次元・５次元を垣間みる」などで解説してあるので割愛しますが，球であれば全曲率∫Ｋ＝４π，トーラスであれば全曲率∫Ｋ＝０，一般に穴がｇ個あるとき，

　　∫Ｋ＝２π（２−２ｇ）＝２πχ

したがって，この定理は，曲面の各点における曲がり具合を知れば，穴の数がわかることを意味しています．

　われわれの住む世界にいくつ穴が空いているかは，外側からみれば一目瞭然ですが，内部に住む人間（曲面人）にはなかなか理解できません．しかし，面・辺・頂点の数を数えたり，世界の曲がり具合を調べることによって，内部に住む人間も穴の数を知ることができるようになるというわけです．

　ガウス・ボンネの定理は，

　　∫（微分幾何学的データ）＝位相幾何学的データ

の形をしています．すなわち，ガウス・ボンネの定理は，局所的に記述されるガウス曲率（湾曲した空間の小部分を記述するのに適したローカルな量）を全体で積分すると位相不変量（大域的で連続的に変形していっても変化しない量）になることをいっているわけで，微分幾何学と位相幾何学の異なる２つの世界を結びつけているところから，微分幾何学で最も美しい定理といわれています．

　オイラー数を曲率の積分で表すガウス・ボンネの定理は，２次元に限らず，２ｎ次元についても拡張されて成り立ちます．これは，ポアンカレ・ホップの指数定理とも呼ばれています．その後，ガウス・ボンネの定理はチャーン（陳省身）によって高次元（２ｎ次元）に拡張されました．

　　曲率のパフィアンの積分＝（２π）^n×空間全体のオイラー数

　　２次元空間を扱うときｎ＝１

　ガウス・ボンネの定理の素晴らしいところは

［１］曲率Ｋは面に内在するので，内部に住む人間でもアリでも，面を離れずに自分が張っている曲面全体の種類を知ることができる．

［２］全曲率はつねに２πの整数倍である（全曲率は量子化されている）

　私たちは宇宙の外に出ることはできないから，あくまで内部から私たちが暮らす宇宙を理解するしかないが，ガウス・ボンネの定理はそれが可能であることを主張しているのである．

　その後，空間不変量はオイラー標数に留まらず，チャーン指標，チャーン・サイモン不変量などさまざま（どっさり）あることがわかっている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝