ポアンカレは，３次元多様体の内部にある閉ループを連続的に変形し，１点にまで縮めることが可能なのは，３次元球面だけだろうかという問いを発した．この問題は４次元以上については肯定的に解決さたが，３次元版だけが未解決であった．

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【１】サーストン

　２次元空間（曲面）のトポロジーは，ユークリッド幾何学，楕円幾何学，双曲幾何学の３種類に分類されるという視点から解釈することができる，

　サーストンは「３次元多様体は８種類の幾何学構造に分解できる」という幾何化予想を定式化した．これが証明できれば，閉ループが１点に可縮という範囲を超えて，その帰結としてポアンカレ予想は直ちに導かれる．

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【２】ハミルトン

　もう一つのアプローチは，ハミルトンがリーマン幾何学のほうから導いた「リッチフロー」である．リッチフローにしたがう曲面は自然に単純化し，完全な球面化が成し遂げられるのである．

　ハミルトンは２次元のポアンカレ予想もリッチフローを用いて証明できることを示したが，３次元の場合は「特異点」で平坦化かできなくなってしまう．

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【３】ペレルマン

　壁にぶつかってしまったが，ここでペレルマンの考えた方法は特異点に「手術」を施す方法である．こうして「３次元多様体は８種類の幾何学構造に分解できる」という幾何化予想，そしてポアンカレ予想も証明されたのであった．

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