群を分子にたとえなら，単純群は原子に相当する．キリングはすべての単純リー代数の構造を解明するための分類作業を行ったが，有限単純群の分類はものすごく多数の数学者たちによって成し遂げられた．とりわけゴレンシュタインの役割は大きかったといわれる．

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　キリングは単純リー代数がＡn，Ｂn，Ｃn，Ｄnの４系列とＧ2，Ｆ4，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8の５つの例外に分類したが，有限単純群もいくつかの無限系列（交代群とリー型線形群）と２６の例外型に分類される．

　例外型の有限単純群のうち，最もミステリアスでサイズが最大のものはモンスターと呼ばれる．モンスターは１９６８８３次元の多元環上の対称群として構成できる．

　モンスターは数論や複素解析と奇妙な関連をもつと予想された（ムーンシャイン予想）．この予想は１９９２年，ボーチャーズにより証明され，彼はこの業績によりフィールズ賞を受賞した．

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