平行多角形とは平行移動するだけで２次元空間を埋めつくすことのできる単独の多角形であって，平行六辺形と平行四辺形の２種類しかない．この中で，平行六辺形が原始的平行多角形である（1 primitive, 1 non-primitive）．

　平行多面体は結晶構造と深く関係していて，３次元ではロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体−しかない．この中で，切頂８面体が原始的平行多面体と呼ばれる．（1 primitive, 4 non-primitive）

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【１】平行多面体の５種とミンコフスキーの定理

　フェドロフの平行多面体とは平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，平行辺（したがって平行四辺形面，平行六辺形面に限られる），平行面から構成されている多面体である．フェドロフの平行多面体には立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかないことが証明されている（１８８５年）．

　立方体は単独で空間全体を格子状に埋めつくすことができる．単純立方格子状配置，すなわち角砂糖の箱の封を切ったときに見えるパターンについてはこれ以上説明するまでもないだろう．立方体以外の単一多面体による空間充填体としては，菱形十二面体や切頂八面体がよく知られている．両者はしばしば対比され，どちらも単独で空間充填可能な立体図形であるが，菱形十二面体が面心立方格子（立方体の８個の頂点と６個の面の中心に原子が配置されている構造）のボロノイ図（隣り合った２点を結ぶ線分の垂直二等分面を次々に引いていくことによりできる多面体パターン）であるのに対して，切頂八面体は体心立方格子（立方体の８個の頂点と重心原子が配置されている構造）のボロノイ図となっている．

　これら５種類の図形は３次元格子の幾何学的分類であり，５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であるし，結晶学の観点からすると平行多面体は正多面体以上に重要であると考えられる．結晶格子には面心立方格子，体心立方格子，単純立方格子，六方晶格子などの別があるが，結晶の骨格の基本形はフェドロフの平行多面体に限定されるといってよいからである．

　平行多面体による空間充填形はもっと高い次元の立方格子の３次元への射影になっている．平行多面体のうち１４面体は切頂８面体だけであるが，切頂八面体には６組の平行な辺があり，６次元立方体と相同と考えることができる．プリミティブである切頂８面体（ｆ＝１４，ｄ＝６）の辺を点に縮めることによって，長菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝５）→菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝４），６角柱（ｆ＝８，ｄ＝４）→立方体（ｆ＝６，ｄ＝３）ができる．すなわち，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものとなっていて，空間充填図形の基本形は切頂８面体と考えることができる．同様に２次元充填の基本形は６角形である．

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　３次元充填の基本形は１４面体であることはわかったが，それでは４次元，５次元，・・・，ｎ次元での空間充填多面体の基本形はどうなるのだろう？　どのような形になるのかを知る人はたとえいたとしても非常に少ないであろう．そこで（証明抜きで）次元論の敷石定理について解説する．

「ｎ次元の舗石定理」

［１］ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる（ルベーグ）．

［２］ｎ＋１個のとき，空間充填の基本細胞の面数は最大２（２^n−１）個である（ミンコフスキー）．

　すなわち，平行多面体の最多面数は２次元では６角形，３次元では１４面体，４次元では３０胞体，５次元では６２房体となるのである．

　そして，そこから派生する４次元平行多面体は５２種類（3 primitive, 49 non-primitive），５次元平行多面体は正確かどうか定かではないが１０万種類を超えるようだ（222 primitive, 103789 non-primitive）．

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