１次元のマーデルング定数の場合は，正負の電荷が交互に等間隔で，一直線，上に並んだ系，すなわち，

　　Ｕ＝-e^2/R*2[1-1/2+1/3-1/4+･･･]＝-e^2/R*2log2

である．

　　1-1/2+1/3-1/4+･･･＝log2＝０．６９３１４７・・・

２次元・３次元とはちがって，解析的な解も得られる．

　とはいっても，この無限級数の収束は遅く，級数の収束を速める方法として，オイラー変換が知られている．

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【１】オイラー変換

　オイラー変換は交代級数に対して有効である．ベキ級数Σａkｚ^kの第Ｍ項から先の部分を第Ｌ階差までで打ち切って，

　　Σａkｚ^k＝ΣΔ^kａMｘ^M+k／（１−ｚ）^k+1

を級数の和の近似とするのであるが，

　　ｚ＝−１，Ｍ＝１０，Ｌ＝３，ａk＝１／（ｋ＋１）

にとって，近似的に計算してみると，０．６９３１４４となって，誤差は２．４８×１０^ｰ6すぎない．

　もし，距離の近いものから足し合わせるという（馬鹿正直な）正攻法でもとの級数のまま和を計算していたら，この精度を得るのに，

　　（２．４８×１０^ｰ6）^-1＝４×１０^5

項まで計算しなければならないのである．

　もし，

　　ｚ＝−１，Ｍ＝１０，Ｌ＝１０，ａk＝１／（ｋ＋１）

とすると，０．６９３１４７を得ることができる．誤差はないに等しい．

　振動が激しく，一向に収束しない場合であっても，オイラー変換によって，収束は著しく速められていることがおわかり頂けたであろうか？

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