【１】２（２^n−１）胞体の元素の頂点数

　正単体の基本単体をｎ−１回切頂・切稜すると２ｎ胞体になる．この多面体のすべての頂点を求めてみたところ，頂点数は２^n個あり，この多面体は超立方体と組み合わせ同値であることが確認された．

　胞数２ｎ，頂点数２^nの多胞体を対称超平面で切半すると，切断面はｎ−１次超立方体（頂点数２^n-1）と組み合わせ同値になることが予想されるが，実際に計算してみると

ｎ　　　切断面　　　　　上　　　　下　　　　　計

３　　　　　４　　　　　２　　　　２　　　　　８

４　　　　　６　　　　　５　　　　５　　　　１６

５　　　　１２　　　　１０　　　１０　　　　３２

６　　　　２２　　　　２１　　　２１　　　　６４

７　　　　４４　　　　４２　　　４２　　　１２８

８　　　　８６　　　　８５　　　８５　　　２５６

９　　　１７２　　　１７０　　１７０　　　５１２

１０　　３４２　　　３４１　　３４１　　１０２４

となって，頂点数２^nが概３等分されていることがわかった．

　２^nは３では割り切れないが，

　　２^n＝１　　（ｍｏｄ３）

　　２^n＝２　　（ｍｏｄ３）

であるから，概３等分されるのである．

ｎ　　　頂点数

３　　　　４＋２＝６

４　　　　６＋５＝１１

５　　　　１２＋１０＝２２

６　　　　２２＋２１＝４３

７　　　　４４＋４２＝８６

８　　　　８６＋８５＝１７１

９　　　１７２＋１７０＝３４２

１０　　３４２＋３４１＝６８３

　奇数次元→偶数次元：２倍して１引く

　偶数次元→奇数次元：２倍する

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【２】２（２^n−１）胞体のブロックモデル

　レンガのブロック積みを考える．３つのレンガが１点で出会うように平面を敷き詰めると，すべてのレンガは周りの６つのレンガに接することがわかる．お城の石垣でもタマネギの細胞でもこのような原則が成り立っていて，このことから平面充填図形の基本形は６角形であるといえる．６角形の１組の対辺を退化させると４角形になるが，それは６角形から２次的に派生したものと考えることができるだろう．

　次に，空間分割のブロックモデルを考える．１段目を敷き詰めたあと，２段目も１段目と同じように敷き詰めるが，１段目のレンガのすべての頂点を２段目のレンガで覆うようにずらして積み重ねると，１段目のレンガの上には４つのレンガが載ることになる．３段目も同様に行うと同じ段に６，上の段に４，下の段にも４で合計１４のレンガに接することになる．このことからレンガは元々１４面体であって，それが普通のレンガの形に圧縮されたものと考えることができる．

　このようにｎ次元の空間充填図形が立方体状のブロックを基にして導出されるという考え方からすれば，単体モデルは頗る意外なものであろう．「はじめに単体ありき」は答えとしてはあっているのだが，自然な発想「はじめに立方体ブロックありき」とかけ離れていて，意外すぎて（少なくとも私にとっては）心理的抵抗感が大きく，面食らうばかりである．

　ブロックモデルをｎ次元に拡張する場合，１次元では両隣りに１個ずつ計２個，２次元では１次元の状態＋上下に２個ずつ計４個，３次元では２次元の状態＋上下に４個ずつ計８個が相隣る．

　このことからｎ次元では

　　ｆn＝ｆn-1＋２^n

となることがわかる．

　　ｆn＝２＋２^2＋・・・＋２^n＝２（２^n−１）

　ブロックモデルの方が心理的抵抗感の少ない導入が可能と思われるが，実際，この多胞体は安定かつ面数が最大の空間充填多胞体となる．

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ｎ　　　　中段　　　　上段　　　下段　　　　　計

　　　２^n−２　　　２^n-1 ２^n-1　　２（２^n−１）

ｎ　　　　中段　　　　上段　　　下段　　　　　計

３　　　　　６　　　　　４　　　　４　　　　１４

４　　　　１４　　　　　８　　　　８　　　　３０

５　　　　３０　　　　１６　　　１６　　　　６２

６　　　　６２　　　　３２　　　３２　　　１２６

７　　　１２６　　　　６４　　　６４　　　２５４

８　　　２５４　　　１２８　　１２８　　　５１０

９　　　５１０　　　２５６　　２５６　　１０２２

１０　１０２２　　　５１２　　５１２　　２０４６

となって，概４等分されていることがわかった．

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